第六章 图(上)【图的基本概念和存储】

1. 图的基本概念

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第1张图片

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第2张图片

 1.1 图的定义

G由顶点集V和边集E组成,记为G=(V,E),其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集;E(G)表示图G中顶点之间的关系 (边) 集合。若V={V, V2,...,Vn},则用|V|表示图G中顶点的个数,也称图G的阶,E={(u, v) l u\epsilonV, v\epsilonV},用|E|表示图G中边的条数。

 注意:线性表可以是空表,树可以是空树,但图不可以是空,即V一定是非空集

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第3张图片

1.2 相关概念 

  • 无向图:若E是无向边 (简称边) 的有限集合时,则图G为无向图。边是顶点的无序对,记为(v,w)或(w,v),因为(v,w)=(w,v),其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻援点。边(v,w)依附于顶点w和v,或者说边(v,w)和顶点v、w相关联。
  •  有向图:若E是有向边(也称弧)的有限集合时,则图G为有向图。弧是顶点的有序对,记为,其中v、w是顶点,v称为弧尾,w称为弧头,称为从顶点v到顶点w的弧,也称v邻接到w,或w邻接自v。 \neq
  • 简单图:① 不存在重复边; ② 不存在顶点到自身的边。
  • 多重图:图G中某两个结点之间的边数多于一条,又允许顶点通过同一条边和自己关联,则G为多重图。
  • 顶点的度 、入度、出度

       ① 对于无向图:顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数,记为TD(v)

在具有n个顶点、e条边的无向图中,

即:无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍
       ② 对于有向图:入度是以顶点v为终点的有向边的数目,记为ID(v);出度是以顶点v为起点的有向边的数目,记为OD(v),顶点v的度等于其入度和出度之和,即TD(v) = ID(v) + OD(v)。

在具有n个顶点、e条边的有向图中,

即:有向图的全部顶点的入度的和与出度的和都等于边数,全部顶点的度的和等于边数的2倍。

其他的概念

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第4张图片

  • 连通图:若图G中任意两个顶点都是连通的,则称图G为连通图,否则称为非连通图。
  • 强连通图:若图中任何一对顶点都是强连通的,则称此图为强连通图。
  • 子图:设有两个图G = (V, E)和G’ = (V‘, E’),若V‘是V的子集,且E’是E的子集,则称G‘是G的子图。
  • 连通分量:无向图的极大连通子图称为连通分量。要求:子图必须连通,且包含
    尽可能多的顶点和边

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第5张图片

  • 强连通分量:有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。要求:子图必须强连通,同时保留尽可能多的边。

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第6张图片

  • 极小连通子图:边尽可能的少, 但要保持连通
  • 连通图的生成树(不唯一):连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。要求:若图中顶点数为n,则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言,若砍去它的一条边,则会变成非连通图,若加上一条边则会形成一个回路。

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第7张图片

  • 生成森林:在非连通图中,连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

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  • 边的权:在一个图中,每条边都可以标上具有某种含义的数值,该数值称为该边的权值。
  • 带权图/网:边上带有权值的图称为带权图,也称网。
  • 带权路径长度:当图是带权图时,一条路径上所有边的权值之和,称为该路径的带权路径长度。
  • 无向完全图——无向图中任意两个顶点 之间都存在边,共\frac{n(n-1)}{2}条边
  • 有向完全图——有向图中任意两个顶点 之间都存在方向相反的两条弧,共n(n-1)条
  • 稀疏图:边数很少的图称为稀疏图,反之称为稠密图,没有绝对的界限,

 特殊形态的树:

——不存在回路,且连通的无向图

有向树——一个顶点的入度为0、其余顶点的 入度均为1的有向图,称为有向树。

n个顶点的树,必有n-1条边。

2. 图的存储

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2.1 邻接矩阵法

2.1.1 图的邻接矩阵定义

  • 图的邻接矩阵(Adjacency Matrix) 存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息,一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
  • 只要确定了顶 点编号,图的 邻接矩阵表示 方式唯一

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无向图的度:第i个结点的度 = 第i行(或第j列)的非零元素个数;
有向图的出度:第i行的非零元素个数;
有向图的入度:第 i列的非零元素个数。

有向图的度:第i行的非零元素个数+  第 i列的非零元素个数。

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2.1.2 邻接矩阵法代码实现

#define MaxVertexNum 100	//顶点数目的最大值
#define INFINITY INT_MAX    // 定义无穷值
typedef char VertexType;	//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;	//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
	VertexType Vex[MaxVertexNum];	//顶点表
	EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//邻接矩阵,边表
	int vexnum, arcnum;	//图的当前顶点数和弧树
}MGraph;

 2.1.3 性能分析:

数组实现的顺序存储,空间复杂度高,不适合存储稀疏图
(1)空间复杂度:O\left ( \left | V \right |^{2} \right ),只和顶点数相关,和实际的边数无关。,邻接矩阵法求顶点的度/出度/入度的时间复杂度为 O(|V|)
(2)适合用于存储稠密图。
(3)无向图的邻接矩阵是对称矩阵,可以压缩存储 (只存储上三角区或者下三角区)。

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第12张图片 邻接矩阵法的性质

设图G的邻接矩阵为A(矩阵元素为0/1),则An的元素An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目

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A^2[1][4],顶点1, 4为点A和D,则由顶点A到顶点D的长度为2的路径只有1条

2.2 邻接表法 顺序+链式存储

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2.2.1 性能分析:

 无向图:边结点的数量是2|E|,整体空间复杂度为O(|V| + 2|E|)

 有向图:边结点的数量是|E|, 整体空间复杂度为 O(|V| + |E|)

2.2.2 特点 

  • 更适合用于稀疏图;
  • 若G为无向图,则顶点的度为该顶点边表的长度若G为有向图,则顶点的出度为该顶点边表的长度,计算入度需要遍历整个邻接表;
  • 邻接表不唯一,边表结点的顺序根据算法和输入不同可能会不同。

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2.2.3 代码实现

#define MAXVEX 100	//图中顶点数目的最大值
type char VertexType;	//顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType;	//边上的权值类型应由用户定义
/*边表结点*/
typedef struct EdgeNode{
	int adjvex;	//该弧所指向的顶点的下标或者位置
	EdgeType weight;	//权值,对于非网图可以不需要
	struct EdgeNode *next;	//指向下一个邻接点
}EdgeNode;
 
/*顶点表结点*/
typedef struct VertexNode{
	Vertex data;	//顶点域,存储顶点信息
	EdgeNode *firstedge	//边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
 
/*邻接表*/
typedef struct{
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges;	//图中当前顶点数和边数
}

2.3 十字链表

 十字链表是有向图的一种链式存储结构

2.3.1 问题引入 与解决

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第17张图片

2.3.2 十字链表法性能分析

空间复杂度:O(|V|+|E|)

邻接表找顶点的入 边不方便,邻接矩阵空间复杂度 高 O(|V|2)

  • 如何找到指定顶点的所有出边?——顺着绿色线路找
  • 如何找到指定顶点的所有入边?——顺着橙色线路找

注意:十字链表只用于存储有向图

2.3.3 代码实现

#define MAX_VERTEX_NUM 20	//最大顶点数量
 
struct EBox{				//边结点
	int i,j; 				//该边依附的两个顶点的位置(一维数组下标)
	EBox *ilink,*jlink; 	//分别指向依附这两个顶点的下一条边
	InfoType info; 			//边的权值
};
struct VexBox{
	VertexType data;
	EBox *firstedge; 		//指向第一条依附该顶点的边
};
struct AMLGraph{
	VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];
	int vexnum,edgenum; 	//无向图的当前顶点数和边数
};

2.4 邻接多重表存储无向图

邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构。

2.4.1 问题引入 与解决

邻接矩阵存储无向图、空间复杂度高 O(|V|2),邻接表存储无向图每条边对应两份冗余信息, 删除顶点、删除边等操作 时间复杂度高

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第18张图片2.4.2 性能分析:

空间复杂度:O(|V|+|E|)

优点:删除边、删除节点等操 作很方便

注意:邻接多重表只适 用于存储无向图

2.4.3 四种存储方法比较:

第六章 图(上)【图的基本概念和存储】_第19张图片

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