混沌系统在图像加密中的应用（基于哈密顿能量函数的混沌系统构造1.3）

前言

续接混沌系统在图像加密中的应用（基于哈密顿能量函数的混沌系统构造1.2）

一类三维非哈密顿系统的构造与动态特性分析

1.相关理论基础

2.类Nosé-Hoove系统构造的思路及实现

3.基于哈密顿能量理论的Nosé-Hoove系统的分析与仿真

3.1 平衡点分析

3.2 不同强度激励下系统的动态特性

3.2.1 无激励（k=0）

3.2.2 弱激励（k=0.01）

-----------------------------------------------------------------------（a）------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------（b）------------------------------------------------------

3.2.3 强激励（k=1）

系统(3.17)存在复杂动力学特性不仅仅受外力影响，而且还受系统参数的a，b影响。

总结

前面的分析是依据参数和初始值，得到了系统(3.17)存在的各类非线性现象。 下节着重研究系统的逆时间对称性。

python代码

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pylab as mpl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['Times new roman']  # 指定默认字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题


def dmove(Point, t, sets):
    a, b, k = sets
    x, y, z = Point
    return np.array([a * y + b * z,
                     -a * x + y * z,
                     - b * x - y * y +k])


t = np.arange(0, 1000, 0.01)  # 时间序列 总共有 100/0.01=10000 个点
T = np.linspace(0,100,len(t))
par_a = 1
par_b = 1
#par_k = 0.01
par_k = 1

par = [par_a, par_b, par_k]
P = odeint(dmove, (-2, 2, 0), t, args=(par,))
#P = odeint(dmove, (-0.2, 0.2, 0), t, args=(par,))
H = 1 / 2 * (P[:, 0]**2 + P[:, 1]**2 + P[:, 2]**2)  # 哈密顿能量
dH_dt = par_k * P[:, 2]

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(P[:, 0], P[:, 1], P[:, 2], lw=0.7, c="b")
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('y', fontsize=12)
ax.set_zlabel('z', fontsize=12)
plt.tight_layout()
ax.set_title("")
ax.grid()

plt.figure()
plt.plot(T, P[:, 0], lw=1,label="x")
plt.plot(T, P[:, 1], lw=1,label="y")
plt.plot(T, P[:, 2], lw=1,label="z")
plt.legend()
plt.xlabel("t", fontsize=15)
plt.ylabel("x,y,z", fontsize=15)

plt.figure()
plt.plot(P[:, 0], P[:, 1], lw=1, c="b")
plt.xlabel("x", fontsize=15)
plt.ylabel("y", fontsize=15)

plt.figure()
plt.plot(P[:, 1], P[:, 2], lw=1, c="b")
plt.xlabel("y", fontsize=15)
plt.ylabel("z", fontsize=15)

plt.figure()
plt.plot(P[:, 0], P[:, 2], lw=1, c="b")
plt.xlabel("x", fontsize=15)
plt.ylabel("z", fontsize=15)

plt.show()