1、计数:
有多少种方式走到右下角
有多少种方法选出k个数使得和为Sum
2、求最大最小值:
从左上角走到右下角路径的最大数字和
最长上升子序列长度
3、求存在性:
取石子游戏,先手是否必胜
能不能选出k个数使得和是Sum
1、确定状态
简单的说,就是解动态规划时需要开一个数组,数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么,类似解数学题中,xyz代表什么一样,具体分为下面两个步骤:
-------研究最优策略的最后一步
-------化为子问题
2、转移方程
根据子问题定义直接得到
3、初始条件和边界情况
初始条件一般都是a[0]、a[1]这种,多看看
边界条件主要是看数组的边界,数组越不越界
4、计算顺序
利用之前的计算结果
题目:有三种硬币,面值2.5.7,买一本书需要27元,如何用最少的硬币整好付清。
首先经过分析,这是一个求最大最小值问题,可用动态规划来求解。
1、确定状态
(1)最后一步
虽然我们不知道最优策略是什么,但是最优策略一定是k枚硬币a1,a2…ak加起来等于27
所以一定有一枚最后的硬币:ak
除掉这枚硬币,前面硬币的面值相加起来是27-ak,如图
(2)化为子问题
所以就将原问题转化为了子问题:
原问题是最少用多少枚硬币拼出27(k枚)
子问题是最少用多少枚硬币拼出27-ak(k-1枚)
经过这两歩,得出状态:f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
2、转移方程
设状态f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
转移方程如下
这时,可以用递归进行解题,大致如下
但是有一个问题,递归是从上到下进行计算的,这样的话会产生大量的重复运算
所以说,这不是一个好的解法,解决方法就是将计算结果保存下来,改变计算顺序,我们接着来看。
3、初始条件和边界情况
边界条件X-2,X-5,X-7小于0时,应该进行处理,这种情况其实就是拼不出来的情况,定义为正无穷
初始条件一般就是根据转移方程计算不出来的值,从转移方程变量为0或1来选,根据题目进行分析,这个题目的初始条件就是f[0]=1,代入公式的话应该f[0]为正无穷,显然错误,所以自己定义f[0]=0
4、计算顺序
这个题目应该是正序的,当我们计算到f[X]时,f[X-2],f[X-5],f[X-7]都已经得到结果了
//A数组存储硬币金额,M代表商品价值
public static int coinChange(int[] A, int M) {
int[] f = new int[M + 1];
f[0] = 0;
for (int i = 1; i <= M; i++) {
f[i] = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = 0; j < A.length; j++) {
//第一个条件是防止数组越界;第二个条件是防止MAX_VALUE+1越界
if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
f[i] = Math.min(f[i], f[i - A[j]] + 1);
}
}
}
if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {
f[M] = -1;
}
return f[M];
}
题目:给定m行n列的网格,有一个机器人从左上角(0,0)出发,每一步可以向下或者向右走一步,问有多少种不同的方式走到右下角。
可用计数型动态规划来求解。
1、确定状态
(1)最后一步
聚焦机器人最后挪动的一歩,右下角坐标为(m-1,n-1),那么前一步机器人一定在(m-2,n-1)或者(m-1,n-2)
(2)子问题
轻易可得,机器人走到(m-1,n-1)的方式等于机器人走到(m-2,n-1)加上机器人走到(m-1,n-2)
原问题是有多少种方式从左上角走到(m-1,n-1)
子问题是有多少种方式从左上角走到(m-2,n-1)和(m-1,n-2)
经过这两歩,得出状态:f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到(i,j)
2、转移方程
3、初始条件和边界情况
边界条件:i=0或者j=0时前一步只能从一个方向过来,所以f[i][j]=1
初始条件:f[0][0]=1,机器人只有一种方式到左上角
代码:
public static int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] f = new int[m][n];
int i, j;
for (i = 0; i < m; i++) {
for (j = 0; j < n; j++) {
if (i == 0 || j == 0) {
f[i][j] = 1;
} else {
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
}
}
}
return f[m - 1][n - 1];
}
题目:有n块石头分别放在x轴的0,1,…,n-1位置,一只青蛙在石头0,想要跳到石头n-1,若青蛙在第i块石头上,他最多可以向右跳距离ai,问青蛙能否跳到石头n-1。
经过分析,这是一个存在型动态规划问题
1、确定状态
(1)最后一步
最后一步是从i跳过来的,i
青蛙可以跳到石头i;最后一步不能超过跳跃的最大距离,即n-1-i<=ai
(2)化为子问题
所以就将原问题转化为了子问题:
原问题是青蛙能不能跳到石头n-1
子问题是青蛙能不能跳到石头i
经过这两歩,得出状态:f[j]表示青蛙能不能跳到石头j
2、转移方程
f[j]表示青蛙能不能跳到石头j
转移方程如下
3、初始条件和边界情况
边界条件:枚举的i和j都不会越界,所以没有边界条件
初始条件:f[0]=true,因为青蛙一开始就在石头0上
public static boolean canJump(int[] A) {
boolean[] f = new boolean[A.length];
f[0] = true;
for (int j = 1; j < A.length; j++) {
f[j] = false;
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (f[i] && i + A[i] >= j) {
f[j] = true;
break;
}
}
}
return f[A.length - 1];
}
题目:给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1,m<=n),每段绳子的长度记为k[1],…,k[m]。请问k[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。(2 <= n <= 60)
可用最值型动态规划来求解。
1、确定状态
(1)最后一步
假设绳子剪得最后一下的长度为j,只需要满足j
(2)子问题
相当于从1开始遍历j,找出 j*(i-j部分的乘积最大值)的最大值
原问题是长度为i的乘积最大值
子问题是长度为i-j的乘积最大值
经过这两歩,得出状态:f[i]表示长度为i的绳子的乘积最大值
2、转移方程
f[i] = max( f[i] , j * f[i-j] )
f[i]初始值可以不动,设置为0
(其中要注意一个问题,这个式子f[i-j]会把绳子至少分为两段,但是当i-j < 4时, 不分割的情况下是最大的,(大于4就很明显不是了,比如5分为2和3,乘积大于5)显然back_track(n) = n,所以说这个i要从4开始,做子运算时i-j < 4时就按照i - j来计算)
3、初始条件和边界情况
边界条件:遍历自己控制不会越界,没有边界情况
初始条件:由于f[2],f[3]都要至少分为两段,结果不是2和3,而是1和2,所以要单独计算
4、计算顺序
从f[4]开始往后计算
代码:
public int cutRope(int target) {
if(target == 2){
return 1;
}else if(target == 3){
return 2;
}
int[] f = new int[target+1];
for(int i=1;i<=3;i++){
f[i] = i;
}
for(int i=4;i<=target;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
f[i] = Math.max(f[i],j*f[i-j]);
}
}
return f[target];
}
题目:HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢?例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组,返回它的最大连续子序列的和,你会不会被他忽悠住?(子向量的长度至少是1)
可用最值型动态规划来求解。
1、确定状态
(1)最后一步
假设当前要判断的是数组第i个,最后一步就是i,数组下标是i-1
(2)子问题
找出到第i-1个为止的连续子数组最大和,看其是否为正或为负,再判断
原问题是到数组第i个的连续子数组的最大和
子问题是到数组第i-1个的连续子数组的最大和
经过这两歩,得出状态:f[i]表示前i个元素的连续子数组的最大和,结尾元素为array[i-1]
2、转移方程
f[i] = max( array[i-1] , array[i-1] + f[i-1] )
如果当前元素为整数,并且f[i-1]为负数,那么当然结果就是只选当前元素,从当前元素开始计算子数组。这里有一个问题是这个方程算出来的连续子数组必须包含array[i-1],所以说我们要用一个变量ret保存每一个f[i],取一个最大的就是结果。
3、初始条件和边界情况
边界条件:遍历自己控制不会越界,没有边界情况
初始条件:f[0] = 0
4、计算顺序
从f[1]开始往后计算
代码:
public class Solution {
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
int[] f = new int[array.length + 1];
f[0] = 0;
int ret = array[0];
for(int i=1;i<=array.length;i++){
f[i] = Math.max(array[i-1],f[i-1] + array[i-1]);
ret = Math.max(ret,f[i]);
}
return ret;
}
}
题目:请从字符串中找出一个最长的不包含重复字符的子字符串,计算该最长子字符串的长度。
可用最值型动态规划来求解。
1、确定状态
(1)最后一步
假设当前要判断s[j]是否和前面的重复,最后一步就是s[j]
(2)子问题
原问题是最后一个字符为s[j]的不含重复字符的子字符串
原问题是最后一个字符为s[j-1]的不含重复字符的子字符串
经过这两歩,得出状态:f[j] 代表以字符 s[j] 为结尾的 “最长不重复子字符串” 的长度
2、转移方程
固定右边界 j ,设字符 s[j] 左边距离最近的相同字符为 s[i],即 s[i] = s[j]
(1)当 i < 0,即 s[j]左边无相同字符,则 f[j] = f[j-1] + 1
(2)当 f[j - 1] < j - i,说明字符 s[i]在子字符串 f[j−1] 区间之外 ,则 f[j] = f[j - 1] + 1
(3)当 f[j−1] >= j−i ,说明字符 s[i] 在子字符串 f[j−1] 区间之中 ,则 f[j]的左边界由 s[i] 决定,即 f[j] = j − i
当 i < 0 时,由于 f[j−1] <= j 恒成立,因而 f[j−1] < j−i 恒成立,因此(1)/(2)可被合并
得到转移方程:
当f[j - 1] < j - i时,f[j] = f[j-1] + 1
当f[j - 1] >= j - i时,f[j] = j − i
3、初始条件和边界情况
边界条件:遍历自己控制不会越界,没有边界情况
初始条件:f[0] = 1
4、计算顺序
从f[1]开始往后计算
5、关键问题
观察转移方程,可知问题为:每轮遍历字符 s[j] 时,如何计算索引 i ?
可以用哈希表来解决
(1)哈希表统计: 遍历字符串 s 时,使用哈希表(记为 dic )统计 各字符最后一次出现的索引位置
(2)左边界 i 获取方式: 遍历到 s[j] 时,可通过访问哈希表 ,dic[s[j]]获取最近的相同字符的索引 i,如果没有就默认为-1
代码:
class Solution {
public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
if(s.length() == 0){
return 0;
}
Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
int[] f = new int[s.length()];
f[0] = 1;
dic.put(s.charAt(0),0);
int res = 1;
for(int j=1;j<s.length();j++){
int i = dic.getOrDefault(s.charAt(j),-1);
dic.put(s.charAt(j),j);
if(j - i > f[j-1]){
f[j] = f[j-1] + 1;
}else{
f[j] = j - i;
}
res = Math.max(f[j],res);
}
return res;
}
}
6、空间优化
由于返回值是取 f 列表最大值,因此可借助变量 tmp 存储 f[j] ,变量 res 每轮更新最大值即可
此优化可节省 f 列表使用的 O(N) 大小的额外空间
代码:
class Solution {
public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
Map<Character, Integer> dic = new HashMap<>();
int res = 0, tmp = 0;
for(int j = 0; j < s.length(); j++) {
int i = dic.getOrDefault(s.charAt(j), -1); // 获取索引 i
dic.put(s.charAt(j), j); // 更新哈希表
tmp = tmp < j - i ? tmp + 1 : j - i; // dp[j - 1] -> dp[j]
res = Math.max(res, tmp); // max(dp[j - 1], dp[j])
}
return res;
}
}
最长回文子串
看视频解析,第四步计算顺序很重要,画一个表格就很清晰了,先要算出左下值
最长上升子序列