线性变换概论

线性变换

定义

设 $V$ 和 $W$ 都是在域$K$上定义的向量空间，$T:V\to W$ 对任二向量 $x,y\in V$,与任何标量 $a\in K$，满足：

• $T(x+y)=T(x)+T(y)$
• $T(ax)=aT(x)$

则$T$ 被称为是线性变换。

线性算子：从向量空间U映射到U的线性变换

$0$变换： $0(x)=0$

自身算子：$I(x)=x$

对于$A\in {\mathcal{R}}^{m\times n},x\in {\mathcal{R}}^{m\times 1}$，函数$T(x)=Ax$是一个从${\mathcal{R}}^n$到${\mathcal{R}}^m$线性变换，如果$A$是$n\times n$的话，$T$是一个线性算子。

若$\mathcal{B}=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$是向量空间U的一组基，且$v={\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+\cdots +{\alpha }_n{u}_n$，则表示为$[v{]}_{\mathcal{B}}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n{)}^T$。

若$\mathcal{A}=\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$，则被称为向量空间的标准基

若$\mathcal{B}=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$与${\mathcal{B}}^{\prime }=\{y_1,y_2,\dots ,y_n\}$分别为向量空间$V$的两组基，其中存在一个变换$A$在基$\mathcal{B}$的表示，则$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=[A[x_1{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }},A[x_2{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }},\dots ,A[x_n{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}]$表示

其中$[I{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }\mathcal{B}}$为在向量空间上基向量${\mathcal{B}}^{\prime }$用$\mathcal{B}$表示

例题1

设 $T$ 为 $R^3$ 的一个线性算子，其定义为 $T(x,y,z)=(x-y,y-x,x-z)$ , B = { u 1 = ( 1 0 1 ) , u 2 = ( 0 1 1 ) , u 3 = ( 1 1 0 ) } \mathcal B=\left\{u_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},u_2=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},u_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \right\} B=⎩ ⎨ ⎧​u1​= ​101​ ​,u2​= ​011​ ​,u3​= ​110​ ​⎭ ⎬ ⎫​为其一组基， v = ( 1 1 0 ) v=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} v= ​110​ ​为$R^3$的一个向量。

1)分别计算$[T{]}_{\mathcal{B}}$和$[v{]}_{\mathcal{B}}$

2)计算$[T(v){]}_{\mathcal{B}}$，并验证$[T(v){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[v{]}_{\mathcal{B}}$ 成立。

1）

首先我们计算$[T{]}_{\mathcal{B}}$，它是由$T$作用在基向量上得到的各结果的坐标向量

$[T(u_i){]}_{\mathcal{B}}$ （$i=1,2,3$）组成。即 $$\begin{array}{rl}[T(u_1){]}_{\mathcal{B}}& =[T(1,0,1){]}_{\mathcal{B}}=[(1,-1,0){]}_{\mathcal{B}},\\ [T(u_2){]}_{\mathcal{B}}& =[T(0,1,1){]}_{\mathcal{B}}=[(-1,1,-1){]}_{\mathcal{B}},\\ [T(u_3){]}_{\mathcal{B}}& =[T(1,1,0){]}_{\mathcal{B}}=[(0,0,1){]}_{\mathcal{B}}.\end{array}$$

将以上各向量转化为$\mathcal{B}$下的坐标向量需要解以下方程：

For $[T(u_1){]}_{\mathcal{B}}$: ( 1 − 1 0 ) = a ( 1 0 1 ) + b ( 0 1 1 ) + c ( 1 1 0 ) . \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}. ​1−10​ ​=a ​101​ ​+b ​011​ ​+c ​110​ ​.

解得：$a=1,b=-1,c=0$

For $[T(u_2){]}_{\mathcal{B}}$: ( − 1 1 − 1 ) = a ( 1 0 1 ) + b ( 0 1 1 ) + c ( 1 1 0 ) . \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}. ​−11−1​ ​=a ​101​ ​+b ​011​ ​+c ​110​ ​.

解得：$a=-\frac{3}{2},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$

For $[T(u_3){]}_{\mathcal{B}}$: ( 0 0 1 ) = a ( 1 0 1 ) + b ( 0 1 1 ) + c ( 1 1 0 ) . \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}. ​001​ ​=a ​101​ ​+b ​011​ ​+c ​110​ ​.

解得：$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2},c=-\frac{1}{2}$

解以上各方程，我们可以得到对应的坐标向量。

此外，我们还需要求$R^3$中的向量$v$在基$\mathcal{B}$上的坐标向量$[v{]}_{\mathcal{B}}$, 它可通过解以下方程得出 ( 1 1 0 ) = a ( 1 0 1 ) + b ( 0 1 1 ) + c ( 1 1 0 ) = a u 1 + b u 2 + c u 3 \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = a u_1 + b u_2 + c u_3 ​110​ ​=a ​101​ ​+b ​011​ ​+c ​110​ ​=au1​+bu2​+cu3​

解得：$a=1,b=1,c=0$

综上所述：

[ T ] B = [ 1 − 3 2 1 2 − 1 1 2 1 2 0 1 2 − 1 2 ] [T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1&-\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix} [T]B​= ​1−10​−23​21​21​​21​21​−21​​ ​

[ v ] B = [ 1 1 0 ] [v]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} [v]B​= ​110​ ​

2）

T ( v ) = ( 0 0 − 1 ) T(v)=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix} T(v)= ​00−1​ ​

[ T ( v ) ] B = a ( 1 0 1 ) + b ( 0 1 1 ) + c ( 1 1 0 ) [T(v)]_{\mathcal{B}}=a\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} [T(v)]B​=a ​101​ ​+b ​011​ ​+c ​110​ ​

解得 [ T ( v ) ] b = ( − 1 2 − 1 2 1 2 ) [T(v)]_\mathcal{b}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} [T(v)]b​= ​−21​−21​21​​ ​

所以$[T(v){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[v{]}_{\mathcal{B}}$

例题2

设 $$A(x,y,z)=(x+2y-z,-y,x+7z)$$为 $$R^3$$ 的一个线性算子，其定义为 $$T(x,y,z)=(x-y,y-x,x-z)$$ , B = { ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) } , B ′ = { ( 1 0 0 ) , ( 1 1 0 ) , ( 1 1 1 ) } \mathcal B=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right\},\mathcal B'=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right\} B=⎩ ⎨ ⎧​ ​100​ ​, ​010​ ​, ​001​ ​⎭ ⎬ ⎫​,B′=⎩ ⎨ ⎧​ ​100​ ​, ​110​ ​, ​111​ ​⎭ ⎬ ⎫​为其一组基， v = ( 1 1 0 ) v=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} v= ​110​ ​为$$R^3$$的一个向量。

1)分别计算$$[A{]}_{\mathcal{B}}$$和$$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$$

2)求矩阵$$Q$$，使得$$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=Q^{-1}[A{]}_{\mathcal{B}}Q$$成立。

首先，我们需要找出在$$\mathcal{B}$$和$${\mathcal{B}}^{\prime }$$基下的矩阵$$A$$的表示即$$[A{]}_{\mathcal{B}}$$和$$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$$。这一步可以通过将线性变换应用于基向量并将结果写成列向量的形式完成。

线性算子$$A$$以$$\mathcal{B}$$为基的矩阵表示为： $$[A{]}_{\mathcal{B}}={\left[\begin{array}{ccc}A(1,0,0)& A(0,1,0)& A(0,0,1)\end{array}\right]}_{\mathcal{B}}$$ $$=[A(e_1),A(e_2),A(e_3){]}_{\mathcal{B}}$$

计算得到 [ A ] B = [ A ( 1 , 0 , 0 ) A ( 0 , 1 , 0 ) A ( 0 , 0 , 1 ) ] B = [ 1 2 − 1 0 − 1 0 1 0 7 ] [A]_{\mathcal{B}} = \left[ \begin{array}{ccc} A(1,0,0) & A(0,1,0) & A(0,0,1) \\ \end{array} \right]_\mathcal B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 7 \\ \end{array} \right] [A]B​=[A(1,0,0)​A(0,1,0)​A(0,0,1)​]B​= ​101​2−10​−107​ ​

线性算子$$A$$以$${\mathcal{B}}^{\prime }$$为基的矩阵表示为： $$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}={\left[\begin{array}{ccc}A(1,0,0)& A(1,1,0)& A(1,1,1)\end{array}\right]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$$ $$=[A(e_1^{\prime }),A(e_2^{\prime }),A(e_3^{\prime }){]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$$

计算得到 [ A ] B ′ = [ A ( 1 , 0 , 0 ) A ( 1 , 1 , 0 ) A ( 1 , 1 , 1 ) ] B ′ = [ 1 4 3 − 1 − 2 9 1 1 8 ] [A]_{\mathcal{B'}} = \left[ \begin{array}{ccc} A(1,0,0) & A(1,1,0) & A(1,1,1) \\ \end{array} \right]_\mathcal {B'} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & 9 \\ 1 & 1 & 8 \\ \end{array} \right] [A]B′​=[A(1,0,0)​A(1,1,0)​A(1,1,1)​]B′​= ​1−11​4−21​398​ ​

接下来求矩阵$$Q$$，使得$$[A{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=Q^{-1}[A{]}_{\mathcal{B}}Q$$成立。

我们已经知道$$\mathcal{B}=\{e_1,e_2,e_3\}$$和$${\mathcal{B}}^{\prime }=\{e_1^{\prime },e_2^{\prime },e_3^{\prime }\}$$。

给出两个基$\mathcal{B}$和${\mathcal{B}}^{\prime }$，要找出矩阵$I$在基${\mathcal{B}}^{\prime }$和$\mathcal{B}$之间的表示$[I{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }\mathcal{B}}$。 第一个基$\mathcal{B}$是标准基，我们考虑将${\mathcal{B}}^{\prime }$的基向量表示为$\mathcal{B}$的线性组合。具体地：

第一个基向量在${\mathcal{B}}^{\prime }$中是 ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} ​100​ ​，这就是$\mathcal{B}$的第一个基向量，所以在$\mathcal{B}$的基的表示下，首列是$(1,0,0{)}^T$。

第二个基向量在${\mathcal{B}}^{\prime }$中是 ( 1 1 0 ) \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} ​110​ ​，它可以被表示为$\mathcal{B}$的第一个和第二个基向量的和，于是在$\mathcal{B}$的基的表示下，第二列是$(1,1,0{)}^T$。

第三个基向量在${\mathcal{B}}^{\prime }$中是 ( 1 1 1 ) \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} ​111​ ​，它可以被表示为$\mathcal{B}$所有三个基向量的和，所以在$\mathcal{B}$的基的表示下，第三列是$(1,1,1{)}^T$。

以$\mathcal{B}$的基表示，我们得到： [ I ] B ′ B = ( 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) [I]_{\mathcal B' \mathcal B}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} [I]B′B​= ​100​110​111​ ​ 这就是矩阵$I$在${\mathcal{B}}^{\prime }$和$\mathcal{B}$之间的线性变换矩阵。

例题三

对于 $R^{2\times 2}$ 矩阵,$\mathcal B = \left{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \right} $

对其中一组矩阵, 对于该运算中任意矩阵 $A$, 定义映射 T 定义如下：

$T(A) = \frac{A + A^T}{2} $

计算 $[T{]}_{\mathcal{B}}$.

首先我们需要了解一下所给出的映射$T$如何作用于一个矩阵。给定矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, 我们可以计算：

$$T(A)=\frac{A+A^T}{2}=\frac{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]}{2}=\left[\begin{array}{cc}a& \frac{b+c}{2}\\ \frac{b+c}{2}& d\end{array}\right]$$

为了找到矩阵$[T{]}_B$，我们需要将基$B$中的每一个矩阵分别带入$T$中，并表示其结果为$B$基下的坐标。

对于$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$:

$$T\left(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=1\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

所以，第一列为 [ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ​1000​ ​。

对于$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$:

$$T\left(\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 0.5\\ 0.5& 0\end{array}\right]=0\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+0.5\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]+0.5\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

所以，第二列为 [ 0 0.5 0.5 0 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \end{bmatrix} ​00.50.50​ ​。

对于$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$:

这个矩阵和上一个矩阵相同，所以第三列也是 [ 0 0.5 0.5 0 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \\ 0 \end{bmatrix} ​00.50.50​ ​。

对于$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$:

$$T\left(\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]+0\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]+1\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

所以，第四列为 [ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ​0001​ ​。

综上，$[T{]}_{\mathcal{B}}$为:

[ T ] B = [ 1 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 1 ] [T]_\mathcal B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [T]B​= ​1000​00.50.50​00.50.50​0001​ ​