数据结构与算法——时间复杂度

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前言

一、算法时间复杂度是什么？

二、推导大O阶的方法

二、四种典型的时间复杂度

1.常数阶——O(1)

2.线性阶——O(n)

3.对数阶——O(logn)

4.平方阶——O(n^2)

 三、常见的时间复杂度

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前言

众所周知，设计算法需要提高效率。那么，如何度量一个算法的执行时间呢?

我们的计算机前辈们，为了对算法的评判更加科学，研究出了一种叫做事前分析估算的方法。实际上，就是通过在程序运行前通过对代码语句执行的次数进行求和，以此来评判一个算法的效率。

所谓的时间复杂度，也就跟这个代码语句的执行次数密切相关。

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提示：以下是本篇文章正

一、算法时间复杂度是什么？

     在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）时关于问题规模n 的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n 的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n 的某个函数。

      注：这样用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。一般情况下，随着n的增大，T（n）的增长最慢的算法为最优算法。

二、推导大O阶的方法

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且其系数不是1，则去除与这个项相乘的系数。

    通过以上步骤，最后得出的结果就是大O阶

二、四种典型的时间复杂度

下面，我们就来介绍四种典型的时间复杂度：O(1)、O(n)、O(logn)、O(n^2).

1.常数阶——O(1)

代码如下（示例）：

int Sum = 0,n = 100;        /* 执行一次 */
Sum = (1 + n) * n / 2;        /* 执行一次 */
printf（"%d", Sum）;            /* 执行一次 */ 

这段代码的运行次数为3，通过我们的推导方法，第一步就是讲3改为1，然后保留最高阶项仍为1，所以最后的时间复杂度就为O(1)。

假如说，Sum这个求和的代码运行了13次，即：

 int sum = 0, n = 100;        /* 执行1次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第1次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第2次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第3次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第4次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第5次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第6次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第7次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第8次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第9次 */
sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第10次 */

sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第11次 */

sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第12次 */

sum = （1+n）*n/2;            /* 执行第13次 */
printf（"%d",sum）;            /* 执行1次 */

有很多初学者会误认为时间复杂度是O(15)，实际上，对于分支结构而言，无论是真还是假，执行的次数都是固定的一次，不会随着问题规模n的变大而变大或变小。所以，不包含循环结构的分支结构，其时间复杂度也是O(1)。 

2.线性阶——O(n)

代码如下（示例）：

int a;
for（a = 0; a< n; a++）
{
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤，在循环体中需要执行n次*/
}
 

由于在循环体中，需要执行n次，所以其时间复杂度为O(n)。

3.对数阶——O(logn)

int i= 1;
while （i < n）
{
    i= i * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤 */
}

如果要理解对数阶，咱们还是需要用一点点数学知识。在循环体中，每次都将 i 扩大两倍，使之离 n 更加接近，用公式来表示就是2^x=n，结果就是 x=log2n。所以，这个循环的时间复杂度就是O(logn)。

4.平方阶——O(n^2)

上面分析过，一个循环体中有一个时间复杂度为O(1)的时间复杂度的程序步骤，那么这个循环的时间复杂度就为O(n)。以此类推，将两个时间复杂度为O(n)的循环进行嵌套操作，就能得到一个时间复杂度为O(n^2)的算法程序。

int i,j;
for（i = 0; i < n; i++）
{
    for（j = 0; j < n; j++）                       
    {                                      
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤*/
    }                                      
}

这里提醒一下，如果外循环或者内循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

int i,j;
for（i = 0; i < m; i++）
{
    for（j = 0; j < n; j++）                
    {                                      
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤 */
    }                                      
}

 这里我给出一段代码，请判断它的时间复杂度是多少？

int i,j;
for（i = 0; i < n; i++）
{
    for（j = i; j < n; j++）  /* 注意j = i而不是0 */
    {                                      
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤 */
    }                                      
}

通过计算我们可以发现，当i=1时，j 执行了n次，i=2时，j 执行了n-1次……所以最后的总次数为n^2/2+n/2。

运用我们的推导方法，不难得出时间复杂度就是O(n^2)。

 三、常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
15	O(1)	常数阶
5n+6	O(n)	线性阶
6n^2+6n+9	O(n^2)	平方阶
4log2n+3	O(logn)	对数阶
6n+7nlog2n+3	O(nlogn)	nlogn阶
6n^3+6	O(n^3)	立方阶
3^n	O(3^n)	指数阶

常见的时间复杂度耗费时间从小到大依次是：

O(1)

总结

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从上面的例子我们不难看出，理解大O推导并不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学能力。