第六章 图（中）【图的基本操作和遍历】

1. 图的基本操作

• Adjacent(G,x,y)：判断图G是否存在边或(x, y)。

• Neighbors(G,x)：列出图G中与结点x邻接的边。

无向图：

有向图：

 

• InsertVertex(G,x)：在图G中插入顶点x。

• DeleteVertex(G,x)：从图G中删除顶点x。

无向图：

有向图： 

• AddEdge(G,x,y)：若无向边(x, y)或有向边不存在，则向图G中添加该边。

• RemoveEdge(G,x,y)：若无向边(x, y)或有向边存在，则从图G中删除该边。

• FirstNeighbor(G,x)：求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点 或图中不存在x，则返回-1。

无向图：

有向图：

• NextNeighbor(G,x,y)：假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y之外顶点x的下一 个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1。

无向图：

• Get_edge_value(G,x,y)：获取图G中边(x, y)或对应的权值。

• Set_edge_value(G,x,y,v)：设置图G中边(x, y)或对应的权值为v。

后两个 与Adjacent(G,x,y) 雷同，核心在于找到边：

2.  广度优先遍历BFS

2.1 ⼴度优先遍历（Breadth-First-Search, BFS）要点：

1. 找到与⼀个顶点相邻的所有顶点
2. 标记哪些顶点被访问过
3. 需要⼀个辅助队列 

•  FirstNeighbor(G,x)：求图G中顶点x的第⼀个邻接点，若有则返回顶点号。 若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1。
• NextNeighbor(G,x,y)：假设图G中顶点y是顶点x的⼀个邻接点，返回除y之外 顶点x的下⼀个邻接点的顶点号，若y是x的最后⼀个邻接点，则返回-1。

2.2 代码实现

    ①确定一个起始顶点v，将节点入队

    ②将对头元素v出队，依此访问v的各个未被访问的邻接节点，并将这些节点依此入队

    ③依此以各个邻接节点为起始节点重复步骤①②，直到整个图都遍历（队空+利用辅助数组标记各节点访问情况，防止出现非连通图未遍历的情况）

bool visited[Max_Vertex_Num];
 
void BFSTraverse(Graph G)
{
    for(int i=0; i=0; w=NextNeighbor(G, v, w))
        {
            if(!visited[w])
            {
                visit(w);
                visited[w] = true;
                EnQueue(Q, w);
            }
        }
    }
}

2.3 复杂度分析： 

（1）空间复杂度: 最坏情况，辅助队列大小为 。
（2）对于邻接矩阵存储的图，访问个顶点需要的时间，查找每个顶点的邻接点都需要 的时间，而总共有个顶点，时间复杂度为。
（3）对于邻接表存储的图，访问个顶点需要的时间，查找各个顶点的邻接点共需要的时间，时间复杂度为。

2.4 遍历序列的可变性

• 同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此⼴度优先遍历序列唯⼀
• 同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此⼴度优先遍历序列不唯⼀

2.5  ⼴度优先⽣成树

• ⼴度优先⽣成树由⼴度优先 遍历过程确定。由于邻接表 的表示⽅式不唯⼀，因此基 于邻接表的⼴度优先⽣成树 也不唯⼀。
• 对⾮连通图的⼴度优先遍历，可得到⼴度优先⽣成森林

3.  深度优先遍历DFS

深度优先遍历(Depth First Search)，也有称为深度优先搜索，简称为DFS。

3.1 与树的深度优先遍历之间的联系

3.2 图的深度优先遍历

3.2.1 代码实现

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标记数组
/*从顶点出发，深度优先遍历图G*/
void DFS(Graph G, int v){
	int w;
	visit(v);	//访问顶点
	visited[v] = TRUE;	//设已访问标记
	//FirstNeighbor(G,v):求图G中顶点v的第一个邻接点，若有则返回顶点号，否则返回-1。
	//NextNeighbor(G,v,w):假设图G中顶点w是顶点v的一个邻接点，返回除w外顶点v
	for(w = FirstNeighbor(G, v); w>=0; w=NextNeighor(G, v, w)){
		if(!visited[w]){	//w为u的尚未访问的邻接顶点
			DFS(G, w);
		}
	}
}
/*对图进行深度优先遍历*/
void DFSTraverse(MGraph G){
	int v; 
	for(v=0; v

3.2.2 复杂度分析： 

空间复杂度：来⾃函数调⽤栈，时间复杂度=访问各结点所需时间+探索各条边所需时间
（1）空间复杂度主要来自来⾃函数调⽤栈，最坏情况下递归深度为 ；最好情况为
（2）对于邻接矩阵存储的图，访问个顶点需要的时间，查找每个顶点的邻接点都需要 的时间，而总共有个顶点，时间复杂度为。
（3）对于邻接表存储的图，访问个顶点需要的时间，查找各个顶点的邻接点共需要的时间，时间复杂度为。

3.2.3  深度优先遍历序列

• 同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此深度优先遍历序列唯⼀
• 同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此深度优先遍历序列不唯⼀

• 从 2 出发的深度优先遍历序列：2, 1, 5, 6, 3, 4, 7, 8
• 从 3 出发的深度优先遍历序列：3, 4, 7, 6, 2, 1, 5, 8
• 从 1 出发的深度优先遍历序列：1, 2, 6, 3, 4, 7, 8, 5

 

3.2.4 深度优先⽣成树：

• 同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此深度优先遍历序列唯⼀，深度优先⽣成树也唯⼀
• 同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此深度优先遍历序列不唯⼀，深度优先⽣成树也不唯⼀

 

3.2.5 图的遍历与图的连通性

•  对⽆向图进⾏BFS/DFS遍历 调⽤BFS/DFS函数的次数=连通分量数 对于连通图，只需调⽤1次 BFS/DFS
• 对有向图进⾏BFS/DFS遍历 调⽤BFS/DFS函数的次数要具体问题具体分析 若起始顶点到其他各顶点都有路径，则只需调⽤1次 BFS/DFS 函数 对于强连通图，从任⼀结点出发都只需调⽤1次 BFS/DFS