LeetCode力扣刷题——神奇的位运算

位运算

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一、常用技巧

        位运算是算法题里比较特殊的一种类型，它们利用二进制位运算的特性进行一些奇妙的优化和计算。常用的位运算符号包括：“∧ ”按位异或、“ & ”按位与、“|”按位或、“ ∼ ”取反、“ << ” 算术左移和“>> ”算术右移。以下是一些常见的位运算特性，其中 0s 和 1s 分别表示只由 0 或 1 构成的二进制数字。

x ^ 0s = x     x & 0s = 0     x | 0s = x
x ^ 1s = ~x    x & 1s = x     x | 1s = 1s
x ^ x = 0      x & x = x      x | x = x

        除此之外，n & (n - 1) 可以去除 n 的位级表示中最低的那一位，例如对于二进制表示 11110100 ，减去 1 得到 11110011 ，这两个数按位与得到 11110000 。 n & (-n) 可以得到 n 的位级表示中最低的那一位，例如对于二进制表示 11110100 ，取负得到 00001100 ，这两个数按位与得到 00000100 。还有更多的并不常用的技巧，若读者感兴趣可以自行研究，这里不再赘述。

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二、经典问题

1. 位运算基础问题

461. 汉明距离

461. Hamming Distance

        两个整数之间的 汉明距离 指的是这两个数字对应二进制位不同的位置的数目。

        给你两个整数 x 和 y，计算并返回它们之间的汉明距离。

        对两个数进行按位异或操作，统计有多少个 1 即可。

class Solution {
public:
    int hammingDistance(int x, int y) {
        int diff = x ^ y, ans = 0;
        while(diff){
            ans += diff & 1;
            diff >>= 1;
        }
        return ans;
    }
};

190. 颠倒二进制位

190. Reverse Bits

        颠倒给定的 32 位无符号整数的二进制位。

提示：

        请注意，在某些语言（如 Java）中，没有无符号整数类型。在这种情况下，输入和输出都将被指定为有符号整数类型，并且不应影响您的实现，因为无论整数是有符号的还是无符号的，其内部的二进制表示形式都是相同的。
        在 Java 中，编译器使用二进制补码记法来表示有符号整数。因此，在 示例 2 中，输入表示有符号整数 -3，输出表示有符号整数 -1073741825。

        使用算术左移和右移，可以很轻易地实现二进制的翻转。

class Solution {
public:
    uint32_t reverseBits(uint32_t n) {
        uint32_t ans = 0;
        for(int i=0; i<32; ++i){
            // ans左移一位留出位置
            ans <<= 1;
            // 将n的最后一位放到ans留出的末尾
            ans += n & 1;
            // 将n最后一位移出
            n >>= 1;
        }
        return ans;
    }
};

136. 只出现一次的数字

136. Single Number

        给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

        说明：你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

        我们可以利用 x ∧ x = 0 和 x ∧ 0 = x 的特点，将数组内所有的数字进行按位异或。出现两次 的所有数字按位异或的结果是 0 ， 0 与出现一次的数字异或可以得到这个数字本身。

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector& nums) {
        int ans = 0;
        for(const int & num: nums){
            ans ^= num;
        }
        return ans;
    }
};

2. 二进制特性

        利用二进制的一些特性，我们可以把位运算使用到更多问题上。

        例如，我们可以利用二进制和位运算输出一个数组的所有子集。假设我们有一个长度为 n 的数组，我们可以生成长度为 n 的所有二进制， 1 表示选取该数字， 0 表示不选取。这样我们就获得了 2^ n 个子集。

342. 4的幂

342. Power of Four

        给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。

        整数 n 是 4 的幂次方需满足：存在整数 x 使得 n == 4^x

        首先我们考虑一个数字是不是 2 的（整数）次方：如果一个数字 n 是 2 的整数次方，那么它的二进制一定是 0...010...0 这样的形式；考虑到 n − 1 的二进制是 0...001...1，这两个数求按位与的结果一定是 0。因此如果 n & (n - 1) 为 0，那么这个数是 2 的次方。

        如果这个数也是 4 的次方，那二进制表示中 1 的位置必须为奇数位。我们可以把 n 和二进制的 10101...101 （即十进制下的 1431655765 ）做按位与，如果结果不为 0 ，那么说明这个数是 4 的次方。

class Solution {
public:
    bool isPowerOfFour(int n) {
        return n > 0 && !(n & n - 1) && (n & 1431655765);
    }
};

318. 最大单词长度乘积

318. Maximum Product of Word Lengths

        给你一个字符串数组 words ，找出并返回 length(words[i]) * length(words[j]) 的最大值，并且这两个单词不含有公共字母。如果不存在这样的两个单词，返回 0 。

        怎样快速判断两个字母串是否含有重复数字呢？可以为每个字母串建立一个长度为 26 的二进制数字，每个位置表示是否存在该字母。如果两个字母串含有重复数字，那它们的二进制表示的按位与不为 0 。同时，我们可以建立一个哈希表来存储字母串（在数组的位置）到二进制数字的映射关系，方便查找调用。

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector& words) {
        unordered_map hash;
        int ans = 0;
        for(const string & word: words){
            int mask = 0, size = word.size();
            for(const char & c: word){
                mask |= 1 << (c - 'a');
            }
            hash[mask] = max(hash[mask], size);
            for(const auto & [h_mask, h_len]: hash){
                if(!(mask & h_mask)){
                    ans = max(ans, size * h_len);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

338. 比特位计数

338. Counting Bits

        给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

        本题可以利用动态规划和位运算进行快速的求解。定义一个数组 dp ，其中 dp[i] 表示数字 i 的二进制含有 1 的个数。对于第 i 个数字，如果它二进制的最后一位为 1 ，那么它含有 1 的个数 则为 dp[i-1] + 1 ；如果它二进制的最后一位为 0 ，那么它含有 1 的个数和其算术右移结果相同，即 dp[i>> 1] 。

class Solution {
public:
    vector countBits(int n) {
        vector dp(n + 1, 0);
        for(int i=1; i<=n; ++i){
            dp[i] = i & 1? dp[i - 1] + 1: dp[i>>1];
        }
        return dp;
    }
};

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三、巩固练习

268. 丢失的数字

268. Missing Number

693. 交替位二进制数

693. Binary Number with Alternating Bits

476. 数字的补数

476. Number Complement

260. 只出现一次的数字 III

260. Single Number III

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欢迎大家共同学习和纠正指教