416. 分割等和子集

416. 分割等和子集
     给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

// 这个题目暴力解法就是用回溯算法进行搜索，看是否有路径上的节点总和加起来刚好等于sum/2
// 但是根据这个回溯搜索的方法来进行进一步推导，那么问题就可以使用动态规划来进行解决
// 同时分析题目中每个数只能取一次，并且每次取的数本身的价值就是数的大小，可以得到使用01背包问题求解方法进行求解
// 题目中对应背包容量为 sum / 2，每个物品的重量和价值为nums[i], 要求就是在nums数组中找到刚好可以组成sum/2大小的所有数组成的子集
// 动态规划的步骤
// 1 确定dp数组的含义
// dp[i][j] 表示从0到i的数的子集中的数的和不超过j的最大和的大小
// 2 确定递推公式
// 根据题目意思，01背包问题对当前的一个物品有两种取法, 注意取值的出发点是在上一个物品的基础上来取得，所以出发点都是上一个物品
// 1) 如果不取当前的物品，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j]
// 2) 如果取当前的物品，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]
// 所以 dp[i][j] = max{dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]}
// 3 进行初始化
// 如果i=0,j!=0,那么if (nums[0] < j)dp[i][j] = 0; else dp[i][j] = nums[0]
// 如果i!=0,j=0,那么dp[i][j] = 0;
// 4 确定递推方向
// 根据题目意思和01背包问题的解决方法，优先物品i或者优先容量j都是可以的,这里选在容量在外层，物品在内层循环
// 5 确定获取答案的位置
// 最终的答案就是dp[numsSize][sum/2] 是否等于sum/2
// 6 举例验证
//  nums = [1,3,2,6]
// 0 1 1 1 1 1 1
// 0 1 1 3 4 4 4
// 0 1 2 3 4 5 6
// 0 1 2 3 4 5 6

int max1(int a, int b)
{
    return a > b ? a:b;
}
bool canPartition(int* nums, int numsSize){
    int sum = 0;
    int i;
    for (i = 0; i < numsSize; i++) {
        sum += nums[i]; 
    }

    if (sum % 2 == 1) return false; // 判断是否可以分成两半
    sum = sum / 2; // 计算总重量的一半

    int** dp = (int**)malloc(sizeof(int*) * numsSize);
    for (i = 0; i < numsSize; i++) {
        dp[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * (sum+1));
        memset(dp[i], 0x00, sizeof(int) * (sum+1));
    }

    for (i = 0; i < sum + 1; i++) {
        if (i > nums[0]) dp[0][i] = nums[0];
    }

    int j;
    for (j = 0; j < sum + 1; j++) {
        for (i = 1; i < numsSize; i++) {
            if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max1(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]); 
        }
    }

  //  printf("%d sum = %d \n", dp[numsSize - 1][sum], sum);
    bool ans = (sum == dp[numsSize-1][sum]);

    for (i = 0; i < numsSize; i++) {
        free(dp[i]);
        dp[i] = NULL;
    }
    free(dp);
    dp = NULL;

    return ans;
}