【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 )

一、关系的定义域、值域、域

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$R$ 是一个任意集合

定义域 ( Domain ) : $domR=\{x|\exists y(xRy)\}$

存在 $y$ , $x$ 与 $y$ 有 $R$ 关系 , $R$ 关系是一个集合 , 集合中的元素是有序对 , $xRy$ 是 $<x,y>$ 有序对 ;

$R$ 中的有序对 , 第一个元素是 $x$ , 第二个元素是 $y$ , 那么可以将该 $x$ 放入定义域中 ;

$R$ 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成一个定义域 ;

值域 ( Range ) : $ranR=\{y|\exists y(xRy)\}$

$R$ 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成值域 ;

域 ( Field ) : $fldR=domR\cup ranR$

域 是 定义域 和 值域的并集 ;

二、关系的定义域、值域、域 示例

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1. $R_1=\{a,b\}$

$R_1$ 中没有有序对 , 因此其 定义域 , 值域为空 , 进而其 域 也为空 ;

$dom{R}_1=\varnothing$

$ran{R}_1=\varnothing$

$fld{R}_1=\varnothing$

2. $R_2=\{a,b,<c,d>,<e,f>\}$

$dom{R}_2=\{c,e\}$

$ran{R}_2=\{d,f\}$

$fld{R}_2=\{c,d,e,f\}$

3. $R_3=\{<1,2>,<3,4>,<5,6>\}$

$dom{R}_3=\{1,3,5\}$

$ran{R}_3=\{2,4,6\}$

$fld{R}_3=\{1,2,3,4,5,6\}$

三、关系的逆运算

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任意集合 $F,G$ , 这里两个集合是关系 , 集合中的元素是有序对

逆运算 ( Inverse ) :

$F^{-1}=\{<x,y>|yFx\}$

将 $F$ 关系中的所有有序对中的元素 , 前后调换方向 , 有序对中第一个元素变为第二个元素 , 第二个元素变为第一个元素 ;

如 : 将 $yFx$ , 是 $<y,x>$ 有序对 , 变成 $<x,y>$ 有序对 ;

四、关系的逆序合成运算

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逆序合成 ( Composite ) :

$FoG=\{<x,y>|\exists z(xGz\wedge zFy)\}$

如果 关系 $G$ 中有 $<x,z>$ 有序对 , 关系 $F$ 中有 $<z,y>$ 有序对 , 就可以得到一个新的有序对 $<x,y>$ , 该新的有序对在 关系 $F$ 和 关系 $G$ 的合成 运算结果中 ;

这种合成是 逆序合成 , 先用 $FoG$ 中的后面的 $G$ 关系的有序对 , 然后再用 前者 $F$ 中的有序对 ;

逆序合成 与之对应的是顺序合成 , 一般情况下使用逆序合成 , 其性质使用方便 ;

五、关系的限制

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对于任意集合 $F,A$ , 可以定义

$F$ 集合在 $A$ 集合上的 限制 ( Restriction ) :

$F\upharpoonright A=\{<x,y>|xFy\wedge x\in A\}$

解析 :

$F$ 集合是一个关系 , 其元素是 有序对

$A$ 集合是普通集合 , 其元素就是单纯的单个元素 ;

$F$ 集合中的 有序对 元素中 , 如果 有序对的 第一个元素 在 $A$ 集合中, 那么将这个有序对挑出来 , 放到一个新的集合中 , 这个新集合就称为 $F$ 集合在 $A$ 集合上的 限制 , 记作 $F\upharpoonright A$ ;

上述 限制 ( Restriction ) 是限制 有序对中的第一个元素 ;

如果想要 限制第二个元素 , 将 $F$ 集合中的有序对中的 第二个元素属于 $A$ 的集合的有序对挑出来 , 可以将 $F$ 关系进行逆运算 , 然后 求 $F^{-1}$ 的限制 ;

限制的结果仍然是一个关系 , 其集合中的元素是有序对 ;

六、关系的象

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对于任意集合 $F,A$ , 可以定义

$F$ 集合在 $A$ 集合上的 像 ( Image ) :

$F(A)=ran(F\upharpoonright A)$

即 , $F$ 在 $A$ 集合上的 限制 ( Restriction ) 的值域 ;

另一种表示方式 : $F[A]=\{y|\exists x(x\in A)\wedge xFy\}$

将 $F$ 中的 有序对 挑出来 , 然后挑出有序对中第一个元素在 $A$ 集合中的有序对 , 将上述 有序对的第二个元素挑出来 , 放入新的集合中 , 这个集合就 是 $F$ 在 $A$ 集合上的 像 ;

像 的结果不是一个关系 , 而是 符合特定要求的 有序对集合 中的有序对的第二个元素组成的集合 ;

七、单根

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任意集合 $F$ , 单根 ( Single Rooted ) 定义 :

$F$ 是单根的

$\iff$

$\forall y(y\in ranF\to \exists !x(x\in domF\wedge xFy))$

$\iff$

$(\forall y\in ranF)(\exists !x\in domF)(xFy)$

任何一个 $y$ , $y$是有序对中的值域中的元素 , 有序对中与 $y$ 对应的值 $x$ 元素 , 即 $<x,y>$ 构成一个有序对 , 该 $x$ 存在并且唯一 ;

有序对 $<x,y>$ 中每个 $y$ 都对应着不同的 $x$

一些谓词公式说明 :

$\exists !$ 表示 唯一存在 ;

$\forall x((x\in A\to B(x))$ 可以缩写为 $(\forall x\in A)B(x)$

$\exists x(x\in A\wedge B(x))$ 可以缩写为 $(\exists x\in A)B(x)$

八、单值

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任意集合 $F$ , 单值 ( Single Value ) 定义 :

$F$ 是单值的

$\iff$

$\forall x(x\in domF\to \exists !y(y\in ranF\wedge xFy))$

$\iff$

$(\forall x\in domF)(\exists !y\in ranF)(xFy)$

任何一个 $x$ , $x$是有序对中的定义域域中的元素 , 有序对中与 $x$ 对应的值 $y$ 元素 , 即 $<x,y>$ 构成一个有序对 , 该 $y$ 存在并且唯一 ;

有序对 $<x,y>$ 中每个 $x$ 都对应着不同的 $y$

九、合成运算的性质

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$R_1,R_2,R_3$ 是三个集合 , 则有以下性质 :

$(R_{1}o{R}_2)o{R}_3=(R_{1}o(R_{2}o{R}_3))$

$F,G$ 是两集合 , 有以下性质 :

$(FoG{)}^{-1}=G^{-1}o{F}^{-1}$

合成运算的逆 等于 两个集合逆的合成 ;