【每日一题】三个无重叠子数组的最大和

Tag

【滑动窗口】【数组】【2023-11-19】

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题目来源

689. 三个无重叠子数组的最大和

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题目解读

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解题思路

方法一：滑动窗口

单个子数组的最大和

我们先来考虑一个长度为 k 的子数组的最大值与取得最大值时的初始位置。可以使用固定长度的滑动窗口来解决本题。

滑动窗口是数组和字符串等问题中常用的一个概念。利用滑动窗口可以去掉重复的运算，从而降低时间复杂度。滑动窗口的 “滑动” 指的是窗口每次向右移动一个位置，那么该窗口内的就会增加原窗口右侧的元素，并且会减少原窗口左端点的元素。

我们从数组 [0, k-1] 区间开始，不断地向右滑动窗口，直至窗口右端点到达数组末尾时停止。统计这一过程中长度为 k 的窗口内元素和 sum1 的最大值（记为 maxSum1）及其对应位置。

实现代码为：

class Solution {
public:
    vector<int> maxSumOfOneSubarray(vector<int> &nums, int k) {
        vector<int> ans;
        int sum1 = 0, maxSum1 = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            sum1 += nums[i];
            if (i >= k - 1) {
                if (sum1 > maxSum1) {
                    maxSum1 = sum1;
                    ans = {maxSum1, i - k + 1};
                }
                sum1 -= nums[i - k + 1];
            }
        }
        return ans;
    }
};

两个子数组的最大和

我们可以仿照 单个子数组的最大和 问题的解题方法，使用两个固定长度的滑动窗口来求解 两个子数组的最大和。

设 sum1 为第一个滑动窗口的元素和，该滑动窗口从 [0, k - 1] 开始，sum2 为第二个滑动窗口的元素和，该滑动窗口从 [k, 2*k - 1] 开始。我们同时向右滑动这两个窗口，并维护 sum1 的最大值 maxSum1 及其对应位置。每次滑动时，记录当前的 maxSum1 与 sum2 之和。统计这一过程中的 maxSum1 + sum2 的最大值（记作 maxSum12）及其对应位置。

实现代码为：

class Solution {
public:
    vector<int> maxSumOfTwoSubarrays(vector<int> &nums, int k) {
        vector<int> ans;
        int sum1 = 0, maxSum1 = 0, maxSum1Idx = 0;
        int sum2 = 0, maxSum12 = 0;
        for (int i = k; i < nums.size(); ++i) {
            sum1 += nums[i - k];
            sum2 += nums[i];
            if (i >= k * 2 - 1) {
                if (sum1 > maxSum1) {
                    maxSum1 = sum1;
                    maxSum1Idx = i - k * 2 + 1;
                }
                if (maxSum1 + sum2 > maxSum12) {
                    maxSum12 = maxSum1 + sum2;
                    ans = {maxSum1Idx, i - k + 1};
                }
                sum1 -= nums[i - k * 2 + 1];
                sum2 -= nums[i - k + 1];
            }
        }
        return ans;
    }
};

三个子数组的最大和

在本题中，可以使用三个长度为 k 的滑动窗口。设 sum1 为第一个滑动窗口的元素和，该滑动窗口从 [0, k - 1] 开始，sum2 为第二个滑动窗口的元素和，该滑动窗口从 [k, 2*k - 1] 开始，sum3 为第三个滑动窗口的元素和，该滑动窗口从 [2*k, 3*k - 1] 开始。

我们同时向右滑动这三个窗口，并维护 maxSum12 及其对应位置。每次滑动时，记录当前的 maxSum12 与 sum3 之和。统计这一过程中的 maxSum12 + sum3 的最大值（记作 maxTotal）及其对应位置。

对于题目要求的最小字典序，由于我们是从左向右遍历的，并且仅当元素和超过最大元素和时才修改最大元素和，从而保证求出来的下标列表是字典序最小的。

复杂度分析

class Solution {
public:
    vector<int> maxSumOfThreeSubarrays(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> res;
        int sum1 = 0, maxSum1 = 0, maxSum1Idx = 0;
        int sum2 = 0, maxSum12 = 0, maxSum12Idx1 = 0, maxSum12Idx2 = 0;
        int sum3 = 0, maxTotal = 0;
        for (int i = 2 * k; i < nums.size(); ++i) {
            sum1 += nums[i - 2 * k];
            sum2 += nums[i - k];
            sum3 += nums[i];
            if (i >= 3 * k - 1) {
                if (sum1 > maxSum1) {
                    maxSum1 = sum1;
                    maxSum1Idx = i - 3 * k + 1; 
                }
                if (maxSum1 + sum2 > maxSum12) {
                    maxSum12 = maxSum1 + sum2;
                    maxSum12Idx1 = maxSum1Idx;
                    maxSum12Idx2 = i - 2 * k + 1;
                }
                if (maxSum12 + sum3 > maxTotal) {
                    maxTotal = maxSum12 + sum3;
                    res = {maxSum12Idx1, maxSum12Idx2, i - k + 1};
                }
                sum1 -= nums[i - 3 * k + 1];
                sum2 -= nums[i - 2 * k + 1];
                sum3 -= nums[i -  k + 1];
            }
        }
        return res;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$。

空间复杂度：$O(1)$。

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