The entropy of Hawking radiation

Black holes are very confusing and many researchers who have written papers on them have gotten some things right and some wrong.

最近几年，人们对黑洞的理解又有了新的突破。突破就意味着之前的一些想法是不对的或是不完善的，所以还是很有必要更新自己的认知，即跟得上潮流，或者所谓的paradigm shift.

Information paradox

1. 错误的版本I
   根据黑洞的热力学可以推测黑洞具有温度和熵（正比于视界面积），霍金辐射的计算佐证了这一点。但是在广义相对论的框架里，黑洞的解（微观态）只被几个参数唯一确定，所以黑洞熵对应的微观态得不到描述。处在不同量子态的物质塌缩可能得到同样的黑洞，信息丢失。

这里主要的错误有两个：1. 对熵的理解的偏差。先要解释一下，物理里面有两种熵，fine-gained entropy 和 coarse-gained entropy。fine entropy才是对应了微观态的个数，而coarse entropy也就是thermal entropy来自于我们仅仅知道系统的部分信息：因为我们只知道系统的部分信息，这些信息并不足以唯一确定系统本身，我们取所有可能的系统中具有最大entropy的系统对应的fine entropy作为我们的thermal entropy，所以一个系统真正的fine entropy一定是小于他的thermal entropy的。黑洞开始形成到最终稳定，他们的面积从0迅速变得很大，因为黑洞的熵和面积成正比，所以熵也是一个瞬间增大的，而微观自由度并不会有这样的增加，所以由黑洞热力学得到熵应该是coarse entropy。所以并不直接与微观态相关。

2. 对信息的理解的偏差。一个类比是如果把两块差不多大的煤燃烧殆尽，最终态好像也是一样的，关于煤的信息完全丢失了。但是我们知道，燃烧的过程是不会损失信息的。对于黑洞的情况一样，黑洞也是会辐射的。现在最新的理解是，如果从黑洞的外面看黑洞，那么黑洞和一块煤没什么区别。

2.错误版本II
这个版本只包含了部分事实，不能说错，只是不够完善。考虑处在pure state 物质，塌缩成黑洞，然后黑洞蒸发，最后变成处在混态的霍金辐射，整个过程不是unitary的，信息丢失。这是之前information paradox比较流行的一种说法。但是问题是，在黑洞蒸发的末期，黑洞变得很小的时候，引力理论已经失效了。而且其实想要看到这个paradox，并不需要等到黑洞的蒸发末期。

3. 正确的版本
   考虑黑洞和辐射一起，他们应该构成一个pure state。随着霍金辐射增加，辐射里面的熵越来越大，因为辐射和黑洞一起构成pure state，所以黑洞的熵也越来越大，注意这个熵是fine entropy。但是黑洞的thermal entropy是越来越小的因为它的质量在减小。刚刚提到，fine entropy是要小于thermal entropy的。所以一定会在某一个时间，也就是fine entropy 和 thermal entropy 相等的时候（page time），霍金辐射的熵会开始减小直到为0。为了更清楚的看到这个paradox，我们可以考虑下面这种情况：就是在黑洞蒸发的同时，我们不断喂给黑洞处在pure state的物质，这样黑洞的大小就不会变化，thermal entropy也不会变化，但是霍金辐射的熵也就是黑洞的fine entropy却会越来越大肯定会超越thermal entropy。所以结论就是如果相信我刚刚的假设都没有问题的话，那么就是霍金辐射的熵的计算出现了问题。
   解决information paradox，就是要解释黑洞的fine-entropy或者霍金辐射的熵，先增加后减小（page curve）的现象。

black hole entropy

讨论熵之前，我们先考虑这样的一个问题：应该选取哪个面确定黑洞的大小？现在我们知道应该用视界面来描述，因为视界面才真正的描述了黑洞的某些基本性质。对于黑洞的熵，我们也可以问类似的问题：应该选取那些贡献作为黑洞的熵？根据之前的分析：从外面看，黑洞与一块煤球一样，我们可以想象黑洞的熵应该来自黑洞的thermal entropy（正比于视界面积的部分），还有周围量子场的熵的贡献。这个熵称为generalized BH entropy。但是我们可以找到（可以用引力理论推导出来）这个 generalized BH entropy对应的fine-grained entropy：我们考虑任意一个面，然后计算它的面积对熵的贡献还有量子场对熵的贡献，如果总和是一个极值，那么我们就成为这个面是一个quantum extremal surface （QES）。如果存在多个QES，那么我们选取熵最小的QES对应的熵作为黑洞的fine-grained entropy。怎么用这个新的量来解释page curve 呢？因为存在两种QES。在黑洞刚刚形成之前，熵是来自一个由量子场dominate的QES，随着黑洞的形成，熵会慢慢转变为一个由一个面积dominate的QES（这个面在视界附近），page curve 最后会下降就是因为这个QES的面积会越来越小。

the entropy of Hawking radiation

我们再来直接看霍金辐射的熵。考虑到霍金辐射其实是与黑洞（引力）entangle的，我们也同样的提出一个新的计算熵的公式（这里也可以这样理解，因为我们知道霍金辐射是与引力耦合的，这个额外的信息会改变我们对熵的定义。因为在我们计算霍金辐射的熵的时候，其实是用了半经典的近似，所以对应的熵理论上来说也不是真正的fine-grained entropy，所以知道额外的信息当然可能改变他。）。我们可以把这个新的公式也称为霍金辐射的fine-grained entropy。想法也很直接，我们要把引力的贡献考虑进来，所以我们也要考虑可能的一个面，这样就有面的贡献，量子场的贡献，霍金辐射的贡献，同样的如果总和是一个极值，我们也称这个面为QES。这个面也叫做island，而且会发现这个island是在视界内的！为什么这个面是在视界内呢？因为增加一个面的话，面积的贡献总是正的，去平衡这个贡献，那么量子场的贡献要是负的，这只可能量子场purify 了霍金辐射。如果记得霍金辐射的卡通图像是，在黑洞附近形成一对entangle 的粒子，一个落入黑洞，一个发射到远方成为霍金辐射。那么就可以知道黑洞里面有可以和霍金辐射配对的量子场来purify 霍金辐射。
这样我们就有了 两种QES，带有island，和不带island，这就解释了page curve。

我们这里可以考虑一般的非引力系统来进行对比。如果我们有一个系统，分为A和B两部分，如果只看A的话，把B trace掉，就得到一个A的entropy。很明显如果我们把B的一部分分给A，那么A 的 entropy 是减小的。但是如果B是引力系统的话，特殊的地方就在当我们把B分给A的同时，我们必须要制造出额外的entropy。

可以用热力学定律来类比，热力学的定律是说热量不能完全转化为功，总要有损耗。
对于黑洞，我们不可能把信息完全传递出去。把B分给A的过程就是传递信息的过程，但是发现如果B是引力系统，传递信息的时候是要消耗信息的因为有island的存在。

fine-grained entropy

最后一个问题，我们定义了新的fine-grained entropy，他到底是多大程度的fine-grained的呢？是包含了全部的自由度，还是部分？我们所有的计算其实都是semi-classical的，与霍金当年计算的框架是一样的。为什么我们得到更多的东西的呢？这个fine-grained entropy描述的自由度可以想象是，如果我们在黑洞外做任意复杂的操作所能得到的信息，也就是能从外界所探测到最多的信息。当年霍金计算的错误是在他没有考虑内部的贡献。当然按照当时的想法，也确实不应该包括。我们现在可以包括island并不是我们人为放进去的，而是通过引力的理论计算得到的。主要是算van Neumann entropy，涉及到一个log函数，一般的处理方法是用replica trick 去计算power 函数。因为引力里存在虫洞解，所以再算路径积分的时候，既可以直接的算power函数，也可以利用虫洞的路径这个power函数，这两种算法的结果并不一样。这就对应了之前说的两种QES的存在的可能。