动态规划之最长不下降子序列（LIS）

问题描述

最长不下降子序列（Longest Increasing Sequence, LIS）是这样一个问题：

在一个数字序列中，找到一个最长的子序列（可以不连续），使得这个子序列是不下降（非递减）的。

例如，序列A = {1, 2, 3, -1, -2, 7, 9}（下标从1开始）的LIS是{1, 2, 3, 7, 9}，长度为5。

问题分析

原始解法

对于这个问题，第一个想到的是用最原始的办法来枚举每种情况，即对每个元素有取或不取两种选择，枚举所有可能序列，判断是否为不下降子序列，同时更新最大长度。

对于元素为n的问题，时间复杂度将达到，这显然是不能接受的。

事实上，这个枚举过程包含了大量重复运算，即重叠子问题。

如果从前往后枚举，那么每次碰到子问题：“以A[i]为起点的最长不下降子序列是多少”的时候，我们都要去重新遍历所有子序列。

如果从后往前枚举，那么每次碰到子问题：“以A[i]为终点的最长不下降子序列是多少”的时候，我们都要去重新遍历所有子序列。

对于重叠子问题，我们考虑DP求解，即记录状态，求出状态转移方程，进行状态运算。

动态规划

我们先以数组dp来表示序列A中元素的状态，即令dp[i]表示以A[i]结尾的最长不下降子序列长度。

那怎么求状态转移方程呢？

我们考虑任意一个A[i]，无非两种可能：

1. 如果存在A[i]之前的元素A[j]（j < i），使得A[j] ≤ A[i]且dp[j] + 1 > dp[i]（即把A[i]接在以A[j]结尾的LIS后面可以形成一条比当前以A[i]结尾的LIS更长的LIS），那么就把A[i]接在以A[j]结尾的LIS后面，形成一条更长的不下降子序列；
2. 如果A[i]没有之前的元素或之前的元素均比A[i]大，那么A[i]只好自己形成一条长度为1的LIS。

 这样我们就可以得到状态转移方程：

上面的状态转移方程隐含了边界：初始时dp[i] = 1 (1 ≤ i ≤ n)。显然dp[i]只与小于i的j有关，所以让i从小到大遍历整个数组即可，最后从dp数组中挑出最大的那个就是我们要找的最长不下降子序列。

代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 110;
int A[N], dp[N];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); //关闭流同步提高cin速度
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> A[i];
    }
    int ans = -1; //记录最大的dp[i]
    for(int i = 1; i <= n; i ++){ //按顺序计算dp[i]
        dp[i] = 1; //边界初始条件：dp[i]开始均为1
        for(int j =1; j < i; j ++){
            if(A[i] >= A[j] && (dp[j] + 1) > dp[i])
                dp[i] = dp[j] + 1; //状态转移方程
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}