米勒拉宾算法——素性测试

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米勒拉宾素性测试

对于一个数n，如果想要判断它是否为素数，常规的方法为试除法。即，让n依次除以2到sqrt（n）以内的整数。如果有出现除尽的情况，则为合数。

该方法的时间复杂度为O（sqrt（n））在面对n为长整型的时候有可能超出时间要求。因此普遍采用米勒拉宾算法进行素性判定。在此之前介绍一种伪素数判定方法——小费马定理。

小费马定理为：若有素数p，则对任意的数a( a为正整数 ，且a < p)，a^( p-1 ) ≡ 1( mod p )。反之，若有任意的a( a为正整数 ，且a < p)使得p不满足  a^( p-1 ) ≡ 1( mod p )，p一定为合数。 可以发现若是能够举出所有的a，都能满足上式，是不是就说明p是素数呢？其实不是因为有一类合数也可以做到这一点，这一类合数叫做Carmichael数。前三个这样的数是561 ，1 105，1 729。这样的数真让人不爽。所以采用这种方法测出来的所谓素数是不一定的。叫做伪素数。哪怕你枚举出所有的a，也不可避免。

在小费马定理的基础上有人设计出米勒拉宾随机素数测试法。可以大大的提高检测素数的正确性，但是同样并非一定正确，错误可能性却小到可以接受。

该方法同样利用了枚举多个a的做法，以提高算法的可靠性，对于每一个a，又采用了特殊的方法处理。这基于另外一个定理：如果p是素数，x是小于p的正整数，且x^2 mod p = 1，那么要么x=1，要么x=p-1。该定理证明如下：如果p为素数，x是小于p的正整数， 且x^2 mod p = 1 ，说明p能够整除（x+1）（x-1）。但是p是素数，那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1)或x+1能被p整除(此时 x=p-1)。

判断一个数是不是素数光靠上面的方法是不可靠的，因为p如果是合数的话，也有可能有x^2 ≡ 1 mod(p)  且 x=1或者 x =p-1；但是多排除几次p不为合数的话，就增大了p是素数的可能性 ，这是这个算法的核心思想。因此例如341这个数。可知 ( 2^340 ) ≡ 1 (mod 341 );（2^170）≡ 1(mod 341)  ； 但是发现 2^85 mod 341=32。这足以证明341是一个合数，而不是一个素数。

首先判断要判断的数n是不是2，在判断n是不是奇数。然后尽可能的在令d=n-1，在d中除去2，使得n=d*(2^t),d为奇数，t的值并不关心。如果n是一个素数，那么或者a^d mod n=1，或者存在某个i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i

求a^d mod(n)的算法以及求d^2的算法是采用的快速幂取模算法。但是在d为long long的情况下有可能乘法溢出。有更加优秀的算法存在。

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

LL mulmod( LL a, LL b , LL p )
{
    LL  d =1;
    a = a%p;
    while( b>0 )
    {
        if(b&1)
            d = (d*a)%p;
        a = (a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return d;
}

bool witness( LL a,LL n)
{
    LL d = n-1 ;
    if( n ==2 ) return true ;
    if( !(n&1) ) return false ;
    while(!(d&1)) d = d/2;
    LL t = mulmod(a,d,n);
    while((d!=n-1) && (t!=1)&&(t!=n-1))
    {
        t = mulmod( t ,2,n);
        d=d<<1;
    }
    return (t==n-1)||(d&1);
}

bool isprime( LL n)
{
    int a[3] = {2,7,61};
    for(int i=0;i<3;i++)
        if(!witness(a[i],n))
            return false;
    return true;
}
int main()
{
    LL s;
    cin>>s;
    if(isprime(s))
        cout<<"YES";
    else
        cout<<"NO";
    return 0;
}

PS：入门蒟蒻，如有错误请指正。