[LeetCode] 7.整数反转

一、题目描述

给你一个 32 位的有符号整数 x ，返回将 x 中的数字部分反转后的结果。

如果反转后整数超过 32 位的有符号整数的范围 [−231, 231 − 1] ，就返回 0。

假设环境不允许存储 64 位整数（有符号或无符号）。

示例 1：

输入：x = 123
输出：321

示例 2：

输入：x = -123
输出：-321

示例 3：

输入：x = 120
输出：21

示例 4：

输入：x = 0
输出：0

提示：

• -231 <= x <= 231 - 1

二、题解

记 $rev$ 为翻转后的数字，为完成翻转，我们可以重复「弹出」$x$ 的末尾数字，将其「推入」$rev$ 的末尾，直至 $x$ 为 0。

要在没有辅助栈或数组的帮助下「弹出」和「推入」数字，我们可以使用如下数学方法：

// 弹出 x 的末尾数字 digit
digit = x % 10
x /= 10

// 将数字 digit 推入 rev 末尾
rev = rev * 10 + digit

题目需要判断反转后的数字是否超过 32 位有符号整数的范围 $[-2^{31},2^{31}-1]$，例如 $x=2123456789$ 反转后的 $rev=9876543212>2^{31}-1=2147483647$，超过了 32 位有符号整数的范围。

因此我们需要在「推入」数字之前，判断是否满足

$$-2^{31}\le rev\cdot 10+digit\le 2^{31}-1$$
若该不等式不成立则返回 000。

但是题目要求不允许使用 64 位整数，即运算过程中的数字必须在 32 位有符号整数的范围内，因此我们不能直接按照上述式子计算，需要另寻他路。

考虑 $x>0$ 的情况，记 $IN{T}_{M}AX=2^{31}-1=2147483647$，由于
$$\begin{array}{rl}\text{INT\_MAX}& =\lfloor \frac{\text{INT\_MAX}}{10}\rfloor \cdot 10+(\text{INT\_MAX}\mathrm{mod}10)\\ & =\lfloor \frac{\text{INT\_MAX}}{10}\rfloor \cdot 10+7\end{array}$$

则不等式

$\text{rev}\cdot 10+\text{digit}\le \text{INT\_MAX}$

等价于

$rev\cdot 10+digit\le \lfloor INT\_MAX10\rfloor \cdot 10+7$

移项得

$(rev-\lfloor INT\_MAX10\rfloor )\cdot 10\le 7-digit$

讨论该不等式成立的条件：

若 $rev>\lfloor INT\_MAX10\rfloor$，由于 $digit\ge 0$，不等式不成立。 若 $rev=\lfloor INT\_MAX10\rfloor$，当且仅当 $digit\le 7$ 时，不等式成立。 若 $rev<\lfloor INT\_MAX10\rfloor$，由于 $digit\le 9$，不等式成立。

注意到当 $rev=\lfloor INT\_MAX10\rfloor$ 时若还能推入数字，则说明 $x$ 的位数与 $INT\_MAX$ 的位数相同，且要推入的数字 $digit$ 为 $x$ 的最高位。由于 $x$ 不超过 $INT\_MAX$，因此 $digit$ 不会超过 $INT\_MAX$ 的最高位，即 $digit\le 2$。所以实际上当 $rev=\lfloor INT\_MAX10\rfloor$ 时不等式必定成立。

因此判定条件可简化为：当且仅当 $rev\le \lfloor INT\_MAX10\rfloor$ 时，不等式成立。

$x<0$ 的情况类似，留给读者自证，此处不再赘述。

综上所述，判断不等式

$$-2^{31}\le rev\cdot 10+digit\le 2^{31}-1$$
是否成立，可改为判断不等式

$$\lceil \frac{-2^{3}1}{10}\rceil \le rev\le \lfloor \frac{2^{31}-1}{10}\rfloor$$
是否成立，若不成立则返回 0。

Python

 def reverse(self, x: int) -> int:
    INT_MIN, INT_MAX = -2**31, 2**31 - 1

    rev = 0
    while x != 0:
        # INT_MIN 也是一个负数，不能写成 rev < INT_MIN // 10
        if rev < INT_MIN // 10 + 1 or rev > INT_MAX // 10:
            return 0
        digit = x % 10
        # Python3 的取模运算在 x 为负数时也会返回 [0, 9) 以内的结果，因此这里需要进行特殊判断
        if x < 0 and digit > 0:
            digit -= 10

        # 同理，Python3 的整数除法在 x 为负数时会向下（更小的负数）取整，因此不能写成 x //= 10
        x = (x - digit) // 10
        rev = rev * 10 + digit

    return rev

C++

int reverse(int x) 
{
    int rev = 0;
    while (x != 0) 
    {
        if (rev < INT_MIN / 10 || rev > INT_MAX / 10) 
        {
            return 0;
        }
        int digit = x % 10;
        x /= 10;
        rev = rev * 10 + digit;
    }
    return rev;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log\mid x\mid )$。翻转的次数即 $x$ 十进制的位数。
• 空间复杂度：$O(1)$。