四棱柱：2019年文数全国卷A题19

四棱柱：2019年文数全国卷A题19

分值：12分

如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， 分别是 的中点.

（1）证明∶ 平面 ;

（2）求点 到平面 的距离.

2019年文数全国卷A

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【解答问题1】
作 中点 ，连接 .

因为 是直四棱柱，所以：

;

是矩形;

;

∵

∴ （三线合一）

∴

∵ ,

∴ 是平行四边形

∴

又∵ 是菱形，

∴ 是正三角形.

而 分别是 的中点，

∴ ,

∴ .

∵ ,

∴

又∵ 平面 ,

∴ 平面 . 证明完毕.

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【解答问题2】

由题设条件可知：

是直角三角形.

记点 到平面 的距离为 , 则

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【提炼与提高】

问题1可以概括为：应用平面几何知识推出两组线线平行，再应用平行的传递性推出空间的线线平行；最后由线线平行推出线面平行。

解答过程中用到以下平面几何知识：

『三线合一』

『平行四边形的判定定理』

问题2则是立体几何中的常规操作：应用体积公式求点与平面的距离。

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