JZOJ-5949——人生赢家 详细推导

Description

众所周知，DH是一位人生赢家，他不仅能虐暴全场，而且还正在走向人生巅峰；

在巅峰之路上，他碰到了这一题：

每次生成一个$[0,n)$的随机整数，如果这个随机数和给出的m个数字中的其中一个数字相等，那么就停止生成随机数，否则继续生成，求出所有生成的数的和的期望。

Input

第一行两个正整数 $n,m$
第二行 $m$ 个整数 $a_i$ 表示障碍，保证 $a_i$ 两两不同。

Output

输出一行一个实数表示期望，保留6位小数，
注意了本题没有SPJ，必须和答案完全相同才能通过本题

2 1
1

Sample Output

1.000000

Data Constraint

对于 20% 的数据 ， 满足 $n\le 10$;

对于 30% 的数据 ， 满足 $n\le 1000$;

对于 50% 的数据 ， 满足 $n\le 100000$;

对于 100% 的数据 ， 满足 $n\le 10^7,1\le m\le n,0\le a_i\le n-1$;

这道题我们可以将情况想象成一棵树，其中每一层有 $n$ 个节点，其中 $m$ 个节点不能继续往下走，如这样：

众所周知，期望是概率乘总和

我们可以知道，到这一层的概率为 ：
$$\frac{n-m}{n}$$
即，共有 $n$ 个点，其中 $n-m$ 个可以走。

而从最上面到达这一层的概率为 ：
$$(\frac{n-m}{n}{)}^{i-1}$$

我们再推一步，将其设为 $q$
则${\sum }_{i=1}^{\infty }{q}^i=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

而 $a_1$ 为 1，$|q|\le 1$

所以， $q^{\infty }$ 无限趋近于 0

所以概率为：
$$\frac{1}{1-q}$$

即，
$$\frac{1}{\frac{m}{n}}=\frac{n}{m}$$

而总和我们可以用等差数列求和公式：
$$\frac{n(n+1)}{2}$$

据题目：
$$a_i\le n-1$$

所以，总和为：
$$\frac{n(n-1)}{2}$$

所以，答案为：
$$\frac{(n-1)n}{2m}$$

最后附上code：

#include 
using namespace std;
int n,m;
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	double ans=(double)(n-1)*(double)n/m*0.5;
	printf("%.6lf",ans);
	return 0;
}

话说，我都这么努力地写了，能点个赞吗？
我还只是个苦苦学习的孩子~~