MIT 线性代数笔记 第六讲：列空间和零空间

第六讲：列空间和零空间

子空间的描述    

• 向量空间概念：对线性运算闭合的向量集合。即对于向量v，w，对于任何实数c和d，线性组合cv+dw必属于该空间。
• ：n维向量空间；该空间每一个向量都具有n个分量；R表示分量均为实数。
• 子空间概念：包含于向量空间的一个向量空间，是原向量空间的一个子集
• 任意子空间S和T的交集都是子空间:

证明：

假设任意交集中的两个向量v,w，两个向量既属于S也属于T,v+w也既属于S也属于T，所以v+w也在S和T的交集里。

列空间 column space

矩阵A的列空间是所有列向量线性组合构成的空间

前面章节讨论过的问题：对于给定的AX=b对于任意b都有解吗？

如果矩阵A是可逆的，显然其中列向量的线性无关的，A中列向量的所有线性组合是可以覆盖整个向量空间的；

假设，四个线性方程只有三个未知量，则肯定无法覆盖整个空间，当b无法被A中列向量线性组合时，方程就是无解的；

总而言之，b在A的列空间中，方程才有解。

零空间 nullspace

矩阵A的零空间指满足Ax=0的所有解的集合。对于上述的A,每个列向量有四个分量，列空间为四维向量空间，x为含有有三个分量的向量，矩阵A的零空间为的子空间。即m*n的矩阵，列空间为的子空间，零空间为的子空间。

验证Ax=0的解集为向量空间，即验证对线性运算的封闭性：

若v，w为解集中元素则有：

A(v+w） = Av+Aw = 0

A(cv）= cAv = 0