MIT 线性代数笔记 第六讲:列空间和零空间

第六讲:列空间和零空间

子空间的描述    

  • 向量空间概念:对线性运算闭合的向量集合。即对于向量v,w,对于任何实数c和d,线性组合cv+dw必属于该空间。
  • R^{n}:n维向量空间;该空间每一个向量都具有n个分量;R表示分量均为实数。
  • 子空间概念:包含于向量空间的一个向量空间,是原向量空间的一个子集
  • 任意子空间S和T的交集都是子空间:

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证明:

假设任意交集中的两个向量v,w,两个向量既属于S也属于T,v+w也既属于S也属于T,所以v+w也在S和T的交集里。

列空间 column space

矩阵A的列空间是所有列向量线性组合构成的空间

前面章节讨论过的问题:对于给定的AX=b对于任意b都有解吗?

如果矩阵A是可逆的,显然其中列向量的线性无关的,A中列向量的所有线性组合是可以覆盖整个向量空间的;

假设,四个线性方程只有三个未知量,则肯定无法覆盖整个空间,当b无法被A中列向量线性组合时,方程就是无解的;

总而言之,b在A的列空间中,方程才有解。

零空间 nullspace

矩阵A的零空间指满足Ax=0的所有解的集合。对于上述的A,每个列向量有四个分量,列空间为四维向量空间,x为含有有三个分量的向量,矩阵A的零空间为R^{3}的子空间。即m*n的矩阵,列空间为R^{m}的子空间,零空间为R^{n}的子空间。

验证Ax=0的解集为向量空间,即验证对线性运算的封闭性:

若v,w为解集中元素则有:

A(v+w) = Av+Aw = 0

A(cv)= cAv = 0

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