MIT_线性代数笔记_01_方程组的几何解释

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 1: The geometry of linear equations
课程 1：方程组的几何解释

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首先考虑最简单的二元线性方程组

{a1x+b1y=la2x+b2y=m.

从行的角度来看， a1x+b1y=l 和 a2x+b2y=m 分别表示两条二维平面中的直线，如果这两条直线相交，那么交点的坐标 (x∗,y∗) 即为方程组的解。

更确切的讲，如果两条直线相交于一点，那么该方程组有且仅有一个解，即为交点的坐标；
如果两条直线重合，那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线，此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
如果两条直线平行但不重合，则说明不存在点的坐标同时满足这两条直线的方程，此时方程组无解。

从列的角度来看，上述二元线性方程组可以写成

x(a1a2)+y(b1b2)=(lm).

此时，列向量

(a1a2),(b1b2),(lm)

表示起点为 (0,0) , 终点分别为 (a1,a2),(b1,b2),(c1,c2) 的向量，分别记为 α,β,γ.
那么

x(a1a2)+y(b1b2)

就表示向量 α,β 的线性组合， x,y 称为线性组合的系数，因此线性方程组就可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数 x,y , 使得 α,β 的线性组合 xα+yβ 恰好等于 γ . 如果存在，线性组合的系数 x,y 为多少？

值得一提的是，从列的角度看待线性方程组是一种非常重要的理解方式，以后会经常用到这样的思想。

类似的，对于三元一次方程组

⎧⎩⎨a1x+b1y+c1z=la2x+b2y+c2z=ma3x+b3y+c3z=n.

从行的角度来看，三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面，如果三个平面相交于一点，那么交点的坐标即为方程组的解。

更确切的讲，如果三个平面有且只有一个交点，那么此时方程组有且仅有一个解，即为交点坐标；
如果三个平面相交于一条直线，那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
如果三个平面重合，那么平面上的点的坐标均为方程组的解；
如果三个平面没有公共的交点，那么方程组无解。

从列的角度来看，类似二元线性方程组的情形，同样可以从列向量线性组合的角度来理解。

对于一般的 n 维线性方程组 Ax=b，其中 A 是 n×n 维系数矩阵， x 是 n 维列向量， b 是方程组右端的 n 维列向量。

不妨设 α1,α2,⋯,αn 是 A 的 n 个列向量， x=(x1,x2,⋯,xn)T ，则方程组 Ax=b 可以表示为

(α1,α2,⋯,αn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=b.

即

x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b.

由此可以看出，矩阵 A 乘以向量 x 相当于对 A 的 n 的列向量作线性组合，线性组合的系数即为向量 x 各对应的分量。
因此对线性方程组 Ax=b 可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数，使得 A 的列向量的线性组合恰好为 b。如果存在，线性组合的系数为多少？这些线性组合的系数就构成了 Ax=b 的解向量 x.

现在，我们还有一个问题，线性方程组 Ax=b 在什么情况下有解？

首先我们考虑对于任意的 n 维列向量 x，当 x 变动时， Ax 也在变动，当 x 取遍所有的 n 维列向量时， Ax 就能取遍所有 A 的列向量的线性组合，也就是说，所有的 Ax 就构成了 A 的列向量张成的线性空间 V=span{α1,α2,⋯,αn}.
因此

Ax=b有解⇔b∈span{α1,α2,⋯,αn}.

又由于

b∈span{α1,α2,⋯,αn}⇔rankA=rank(A,b).

因此我们也就得出了

Ax=b有解⇔rankA=rank(A,b).

特别地，如果 A 的 n 个列向量线性无关，那么这 n 个列向量就构成了 n 维向量空间 Rn 的一组基。此时对于任意的 b∈Rn 均可由 A 的列向量线性表出，也即是 Ax=b 一定有解。
换言之，如果 A 可逆，则 Ax=b 一定有解。

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有了对线性方程组的这些认识，我们可以更好地理解矩阵乘法。

首先考虑列向量 x∈Rn 右乘矩阵 A∈Rn×n .
先从行的角度考虑，不妨设

A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟,x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

其中， αT1,αT2,⋯,αTn 是 A 的 n 个行向量， x1,x2,⋯,xn 是 x 的 n 个分量。
则

Ax=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1xαT2x⋮αTnx⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜α1⋅xα2⋅x⋮αn⋅x⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

由此可知，从行的角度来看， Ax 相当于分别用 A 的行点乘 x ，这就是矩阵乘法的定义。

下面从列的角度考虑，这是一种非常重要的理解方式。
不妨设

A=(β1,β2,⋯,βn).

其中， β1,β2,⋯,βn 是 A 的 n 个列向量。
则

Ax=(β1,β2,⋯,βn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=x1β1+x2β2+⋯+xnβn.

由此即知，列向量 x 右乘矩阵 A 即是对 A 的列向量作线性组合，x 的各分量即为线性组合的系数。

下面考虑行向量 yT 左乘矩阵 A∈Rn×n ， 其中 y∈Rn
不妨设

yT=(y1,y2,⋯,yn).

则

yTA=(y1,y2,⋯,yn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟=y1αT1+y2αT2+⋯ynαTn.

由此即知，行向量 yT 左乘矩阵 A 相当于对 A 的行向量作线性组合， yT 的各分量即为线性组合的系数。

综上所述，列向量 x 右乘矩阵 A 相当于对 A 的列向量作线性组合，x 的各分量即为线性组合的系数；行向量 yT 左乘矩阵 A 相当于对 A 的行向量作线性组合， yT 的各分量即为线性组合的系数。

对于矩阵与矩阵的乘法，只需把矩阵按行或列分块，即可按上述向量乘矩阵的方式理解。
即

AB=A(β1,β2,⋯,βn)=(Aβ1,Aβ2,⋯,Aβn)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟B=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1BαT2B⋮αTnB⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟.

也即是， 矩阵 B 右乘 矩阵 A 相当于对 A 的列作线性组合，B 的各列的分量即为线性组合的系数；矩阵 A 左乘 矩阵 B 相当于对 B 的行作线性组合，A 的各行的分量即为线性组合的系数。

这种理解方式也有助于我们更快地进行矩阵乘法的计算。

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