MIT_线性代数笔记_01_方程组的几何解释

MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)


Lecture 1: The geometry of linear equations
课程 1:方程组的几何解释


首先考虑最简单的二元线性方程组

{a1x+b1y=la2x+b2y=m.

从行的角度来看, a1x+b1y=l a2x+b2y=m 分别表示两条二维平面中的直线,如果这两条直线相交,那么交点的坐标 (x,y) 即为方程组的解。

更确切的讲,如果两条直线相交于一点,那么该方程组有且仅有一个解,即为交点的坐标;
如果两条直线重合,那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线,此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解;
如果两条直线平行但不重合,则说明不存在点的坐标同时满足这两条直线的方程,此时方程组无解。

从列的角度来看,上述二元线性方程组可以写成

x(a1a2)+y(b1b2)=(lm).

此时,列向量
(a1a2),(b1b2),(lm)

表示起点为 (0,0) , 终点分别为 (a1,a2),(b1,b2),(c1,c2) 的向量,分别记为 α,β,γ.
那么
x(a1a2)+y(b1b2)

就表示向量 α,β 的线性组合, x,y 称为线性组合的系数,因此线性方程组就可以理解为:
是否存在合适的线性组合系数 x,y , 使得 α,β 的线性组合 xα+yβ 恰好等于 γ . 如果存在,线性组合的系数 x,y 为多少?

值得一提的是,从列的角度看待线性方程组是一种非常重要的理解方式,以后会经常用到这样的思想。

类似的,对于三元一次方程组

a1x+b1y+c1z=la2x+b2y+c2z=ma3x+b3y+c3z=n.

从行的角度来看,三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面,如果三个平面相交于一点,那么交点的坐标即为方程组的解。

更确切的讲,如果三个平面有且只有一个交点,那么此时方程组有且仅有一个解,即为交点坐标;
如果三个平面相交于一条直线,那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解;
如果三个平面重合,那么平面上的点的坐标均为方程组的解;
如果三个平面没有公共的交点,那么方程组无解。

从列的角度来看,类似二元线性方程组的情形,同样可以从列向量线性组合的角度来理解。

对于一般的 n 维线性方程组 Ax=b,其中 A n×n 维系数矩阵, x n 维列向量, b 是方程组右端的 n 维列向量。

不妨设 α1,α2,,αn A n 个列向量, x=(x1,x2,,xn)T ,则方程组 Ax=b 可以表示为

(α1,α2,,αn)x1x2xn=b.


x1α1+x2α2++xnαn=b.

由此可以看出,矩阵 A 乘以向量 x 相当于对 A n 的列向量作线性组合,线性组合的系数即为向量 x 各对应的分量。
因此对线性方程组 Ax=b 可以理解为:
是否存在合适的线性组合系数,使得 A 的列向量的线性组合恰好为 b。如果存在,线性组合的系数为多少?这些线性组合的系数就构成了 Ax=b 的解向量 x.

现在,我们还有一个问题,线性方程组 Ax=b 在什么情况下有解?

首先我们考虑对于任意的 n 维列向量 x,当 x 变动时, Ax 也在变动,当 x 取遍所有的 n 维列向量时, Ax 就能取遍所有 A 的列向量的线性组合,也就是说,所有的 Ax 就构成了 A 的列向量张成的线性空间 V=span{α1,α2,,αn}.
因此

Ax=bbspan{α1,α2,,αn}.

又由于
bspan{α1,α2,,αn}rankA=rank(A,b).

因此我们也就得出了
Ax=brankA=rank(A,b).

特别地,如果 A n 个列向量线性无关,那么这 n 个列向量就构成了 n 维向量空间 Rn 的一组基。此时对于任意的 bRn 均可由 A 的列向量线性表出,也即是 Ax=b 一定有解。
换言之,如果 A 可逆,则 Ax=b 一定有解。


有了对线性方程组的这些认识,我们可以更好地理解矩阵乘法。

首先考虑列向量 xRn 右乘矩阵 ARn×n .
先从行的角度考虑,不妨设

A=αT1αT2αTn,x=x1x2xn.

其中, αT1,αT2,,αTn A n 个行向量, x1,x2,,xn x n 个分量。

Ax=αT1αT2αTnx=αT1xαT2xαTnx=α1xα2xαnx.

由此可知,从行的角度来看, Ax 相当于分别用 A 的行点乘 x ,这就是矩阵乘法的定义。

下面从列的角度考虑,这是一种非常重要的理解方式。
不妨设

A=(β1,β2,,βn).

其中, β1,β2,,βn A n 个列向量。

Ax=(β1,β2,,βn)x1x2xn=x1β1+x2β2++xnβn.

由此即知,列向量 x 右乘矩阵 A 即是对 A 的列向量作线性组合,x 的各分量即为线性组合的系数。

下面考虑行向量 yT 左乘矩阵 ARn×n , 其中 yRn
不妨设

yT=(y1,y2,,yn).


yTA=(y1,y2,,yn)αT1αT2αTn=y1αT1+y2αT2+ynαTn.

由此即知,行向量 yT 左乘矩阵 A 相当于对 A 的行向量作线性组合, yT 的各分量即为线性组合的系数。

综上所述,列向量 x 右乘矩阵 A 相当于对 A 的列向量作线性组合,x 的各分量即为线性组合的系数;行向量 yT 左乘矩阵 A 相当于对 A 的行向量作线性组合, yT 的各分量即为线性组合的系数。

对于矩阵与矩阵的乘法,只需把矩阵按行或列分块,即可按上述向量乘矩阵的方式理解。

AB=A(β1,β2,,βn)=(Aβ1,Aβ2,,Aβn)=αT1αT2αTnB=αT1BαT2BαTnB.

也即是, 矩阵 B 右乘 矩阵 A 相当于对 A 的列作线性组合,B 的各列的分量即为线性组合的系数;矩阵 A 左乘 矩阵 B 相当于对 B 的行作线性组合,A 的各行的分量即为线性组合的系数。

这种理解方式也有助于我们更快地进行矩阵乘法的计算。


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