2021-07-17-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题16）
空间中有个点,,其中任意四点不共面.证明:如果这个点之间至少连有条线段,则所连的线段中至少有三条,它们围成一个三角形.
证明
对用归纳法.
当时,容易验证.假设对结论成立.
对,空间有个点,条连线.这个点中必有两点与,它们之间有线段相连.
其余个点的集合记为.
如果中个点之间至少连有条线段,则结论成立.
因此,设中个点之间至多连有条线段.
于是中的点与点或点所连线段至少有条.
记中与点有线段相连的点的集合为,与点有线段相连的点的集合为.则,而且.因此有,由此得.
于是必有点.
点与、之间两两均有线段相连.
2021-07-17-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题17）
上届获得前名的个球队参加本届争夺前名的比赛.如果不设并列名次,问:没有一个队取得的名次恰好紧接在上届比他高一个名次的球队之后的比赛结果有多少种可能?
解
以元有序数组表示本届的比赛结果:
上届第名的球队在本届获得第名.
以表示比赛可能结果的全体,则.
设,.
易知,
,,.
.
此即所求比赛结果的种数.
2021-07-17-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P104 习题18）
由复数构成的有限集合满足:对任意正整数,若,则.证明:
(1)是整数;
(2)对任意整数,可以找到一个集合,使得满足条件且:.
证明
(1)定义有限集合的元素和为.
设.因为是有限集合,故存在正整数,且,则.
设是使成立的的最小正整数.
所以,互不相同,且它们的次方均为,故这些数是的次方根.
这表明,其中.
由于,,,,所以
为整数.
(2)设对某一个整数,存在满足.
令互不相同的质数均不是的因子,则
.
于是可得.于是,如果存在使得,那么,存在、满足,.从而,结论成立.
2021-07-17-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P105 习题19）
设.求最小自然数,使得的每个元子集中都含有个两两互素的数.
解
令,,.
则由容斥原理可以算出.由于在中任取个数时,必有两个数在同一个之中,二者不互素,故知所求的最小自然数.
另一方面,设且.记中所有素数与所成的集合为,则.
(1)若,则问题已解决.
(2)若,设其余的素数从小到大排列为 ,显然有,,,,.于是有.
因为中共有个合数而这时中有个合数,故在中的合数只有个,从而上面集合中的个元素中总有一个含在中,它与中的个数一起即满足题中要求.
(3)设.这时,至多有中的个合数不在中若集合中有个或个元素含在中,则问题化为前两种情形.以下设这个合数中至多有个含在中,于是其他合数至多有个集合不在中.因此,集合的个合数中至多有个不在中.由抽屉原理知必有一个集合的至少个数含在中.显然,这个数两两互素综上可知,所求的最小自然数.
2021-07-17-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P105 习题20）
个国家派代表队参加亚洲数学竞赛,比赛共个题.结果统计如下:第题对的学生有人;第、两题都对的有人;第、两题都对的有人;第、两题都对的有人;四题全对的有人.求证:存在一个国家,这个国家派出的选手中至少有人恰好只做对了第题.
证明
设集合,,.
则,,,,.
因为,同理,,,所以A.
注意到
.
故由抽屉原理知,存在一个国家,该国派出的选手中至少有人做对了且只做对了第一题.