保姆级别教程 包学包会
分治算法的思想主要为:分、治、合,基本思想是把一个大问题分解成若干个内容相同或结构相似的小问题,通过不断求解这些小问题,找到出口,最终回到原本的问题上,求得要得到的解。
对于本实验:
设有两个大整数,分别为X、Y,把X、Y均分解成两个位数相同的数,(首先在输入的两个大整数X、Y的高位补零,将大整数补成2的n次方幂位数)再将X、Y各分为两段,每段长为n/2位。则有:
X = B * 10 ^( n / 2 )+ A,Y = D * 10 ^( n / 2 )+ C。
这样乘法可变为:
X * Y = B * D * 10 ^ n+( B * C + A * D) 10 ^( n / 2 )+A * C*。
在新得到的式子中,所有两位及以上两数相乘均可拆分成这个式子进行计算。
下面我们来寻找这个分治算法的出口,两个整数相乘,最小是一位数与一位数的乘法,因此该算法的出口应当为一位数与一位数相乘。即将一开始的n位的大整数分解为n/2位的大整数,再将新得到的n/2位的大整数分解为n/4位的大整数,直到k次分解后得到一位的整数,将两个大整数均分解为一位的整数后计算两数相乘的结果,再将结果往回代,直到得到n位数相乘的结果。
这就把两个大整数乘法这个大的问题拆分成了若干个小问题,这些小问题包括乘法和加法,故,在进行算法设计时,要考虑应该设计的子函数应当包括乘法和加法。将大整数分解需要进行移位,所以子函数要包含能够实现移位功能的子函数。两个大整数的位数可能不同,为了方便处理,应该将两个大整数补成位数相同的数,所以还需要一个补齐函数。
在设计步骤中,需要的主要函数:
int uniform(int len1,int len2);//求两个数中较长位数
void chartoint(char str1[],int len,int data[]);//字符串转为整数(利用阿斯克码)并将两个大整数补成位数相同的2的幂次方位数的大整数 为了方便加法运算选择逆序储存
void Add(int data1[],int data2[],int result[],int n);//大整数加法
void Move(int data1[],int n);//整数位左移或右移,实现将大整数拆分成两个n/2位的整数
void Multify(int data1[],int data2[],int result[],int n);//大整数乘法
程序设计语言中的整型数据类型可以存放一定范围内的整数,超出这个范围的大整数就不能再用普通变量存储和操作,这样的整数通常被称为“大整数”。大整数的存储需要借助于数组或链表等,其操作也需要编写程序完成。
要求:
(1) 可实现32位十进制大整数乘法。
(2) 两个大整数相乘如果按照传统的方法,需要耗费n2次数量相乘,试设计大整数乘法的分治算法,要求时间复杂度低于n2阶。
(3) 选择一种高级程序设计语言,实现该算法,要求程序规范,有注释,输出结果正确。
1.Multify(data1,data2,result,n)
过程 Multify(data1,data2,result,n)
1.if(data1的长度为1或data2的长度为1) then 做乘法 data1[1] * data2[1]结果储存在result中
2.将data1、data2分成两部分
a←Divide(data1,a,0,n/2)
b←Divide(data1,b,n/2,n)
c←Divide(data2,c,0,n/2)
d←Divide(data2,d,n/2,n)
3.a * c←Multify(a,c,m1,n/2)
a * d←Multify(a,d,m2,n/2)
b * c←Multify(b,c,m3,n/2)
b * d←Multify(b,d,m4,n/2)
4.对m4进行移位
Move(m4,n)
5.m2+m3←Add(m2,m3,tem1,n2);
6.对tem1进行移位
Move(tem1,n/2);
7.m4+tem1←Add(m4,tem1,tem2,n2);
8.tem2+m1←Add(tem2,m1,result,n*2);
空间复杂度分析:设data1,data2分别为两个大整数,|data1|=|data2|=n;设tem为加法所得结果,由加法的特性可知|tem|=n,故算法所需的辅助空间为n。在Multify中,设所得乘法结果为数组result,|result|=n2,故Multify所需的空间为n2。
时间复杂度分析:用10n做乘法相当于简单地左移n位,它需要Θ(n)时间。由问题分析可知,乘法公式中需进行4次乘法运算和3次加法运算,则可得到递推式:n=1时,T(n)=d;n>1时,T(n)=4T(n/2)+bn。该递推式中b和d均为大于0的常量。由定理2.5可得:T(n)=Θ(n2)。
#include
#include "string.h"
#include "mult.h"
using namespace std;
int main()
{
char str1[MAX],str2[MAX];
int len1,len2,len,i;
cout<<"请输入两个大整数";
gets(str1);
gets(str2);
len1 = strlen(str1);
len2 = strlen(str2);
len = uniform(len1,len2);
//获取动态空间
int *data1,*data2,*result;
data1 = (int *)malloc((len+1)*sizeof(int));//+1:是因为data1[0]储存的数组长度
data2 = (int *)malloc((len+1)*sizeof(int));
result = (int *)malloc((2*len+1)*sizeof(int));
//字符型转化为整数型并对齐
chartoint(str1,len,data1);
chartoint(str2,len,data2);
Multify(data1,data2,result,data2[0]);
cout<<result[0]<<endl;
for(i = result[0];i>=1;i--) cout<<result[i];
return 0;
}
#include "mult.h"
#include
#include
#include "string.h"
#include "math.h"
using namespace std;
int uniform(int len1,int len2)//求两个数中较长位数
{
int len;
len = len1;
if(len1<len2)
len = len2;
return len;
}
void chartoint(char str1[],int len,int data[])//字符串转为整数 阿斯科码 逆序储存(方便加法计算)
{
int i,m,k,n;
m = strlen(str1);//求数组长度
//补到齐2的k次方位数
k = 0;
n = pow(2,k);
while(k<=6)
{
if(len<=n) break;
k++;
n = pow(2,k);
}
data[0] = n;//数组长度
for(i = 0;i < m;i++)
data[i+1] = str1[m-1-i]-48;//a = 0,b = 2;
for(i = m;i<=data[0];i++)//补零
data[i+1] = 0;
// for(i = 1;i <= data[0];i++)//检查是否可以对齐
// cout<
// cout<
}
void Add(int data1[],int data2[],int result[],int n)//大整数加法 倒序存(直接倒序相加) n为补位之后的位数也是data1、data2长度
{
int i,m;//m表示是否需要进位 n1、n2分别表示data1和data2的长度
m = 0;
//补零
if(data1[0]<n)
for(i = 1;data1[0]+i <= n;i++)
data1[data1[0]+i] = 0;
if(data2[0]<n)
for(i = 1;data2[0]+i <= n;i++)
data2[data2[0]+i] = 0;
data1[0] = n;
data2[0] = n;
for(i = 1;i<=n;i++)
{
result[i] = (data1[i]+data2[i]+m)%10;
if(data1[i]+data2[i]+m>9)
m = 1;
else
if(data1[i]+data2[i]+m>=0&&data1[i]+data2[i]+m<=9)
m = 0;
}
result[0] = n;//结果长度
if(m==1)
{
result[0] = n+1;//结果长度
result[result[0]] = 1;//进位为1
}
// for(i = 0;i <= result[0];i++)//检验加法结果
// cout<
// cout<
}
void Move(int data1[],int n)//整数位左移或右移 逆序 右移
{
int i;
i = 0;
for(i=data1[0];i>=1;i--)
data1[i+n]= data1[i];
for(i = 1;i<=n;i++)
data1[i] = 0;
data1[0] = data1[0]+n;
// for(i = 1;i<=data1[0];i++)//检验是否右移!输出后边总多一个0
// cout<
// cout<
}
void Divide(int data1[],int data2[],int low,int high)//分解 将data1的第low位到high位复制到data2中
{
int i;
for(i = 1;i <= high - low;i++)
data2[i] = data1[low+i];
data2[0] = high -low;
//for(i = 1;i<=data2[0];i++)//检验是否分解正确
// cout<
//cout<
}
void Multify(int data1[],int data2[],int result[],int n)//大整数乘法
{
int *a,*b,*c,*d,*m1,*m2,*m3,*m4,*tem1,*tem2;
a = (int *)malloc((n/2+1)*sizeof(int));
b = (int *)malloc((n/2+1)*sizeof(int));
c = (int *)malloc((n/2+1)*sizeof(int));
d = (int *)malloc((n/2+1)*sizeof(int));
int i,m;//n1、n2分别表示data1、data2长度
m = 0;//是否需要进位
i = 0;
//出口
if(n==1)
{
result[1]=data1[1]*data2[1];
if(result[1]<=9)
result[0] = 1;
else if(result[1]>=10)
{
result[2]=result[1]/10;
result[1]%=10;
result[0] = 2;
}
}
//分
else
{
Divide(data1,a,0,n/2);
Divide(data1,b,n/2,n);
Divide(data2,c,0,n/2);
Divide(data2,d,n/2,n);
m1 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
m2 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
m3 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
m4 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
tem1 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
tem2 = (int *)malloc((n*2+1)*sizeof(int));
//治
Multify(a,c,m1,n/2);
Multify(a,d,m2,n/2);
Multify(b,c,m3,n/2);
Multify(b,d,m4,n/2);
//合并
Move(m4,n);
Add(m2,m3,tem1,n*2);
Move(tem1,n/2);
Add(m4,tem1,tem2,n*2);
Add(tem2,m1,result,n*2);
}
}
#ifndef MULT_H_INCLUDED
#define MULT_H_INCLUDED
#include
#include
#include
#define MAX 64//最多可实现64位大整数*64位大整数
int uniform(int len1,int len2);//求两个大整数中较长位数
void chartoint(char str1[],int len,int data[]);//字符串转为整数
void Add(int data1[],int data2[],int result[],int n);//大整数加法
void Move(int data1[],int n);//整数位左移或右移
void Multify(int data1[],int data2[],int result[],int n);//大整数乘法
#endif // MULT_H_INCLUDED
为方便读者理解,源文件 mult.cpp中加了一些被注释的代码,这些代码可以实现对每个子函数功能的检验。