2019年全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题——解析版

2019 年 1 月份管综初数真题

一、问题求解（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 45 分）下列每题给出 5 个选项中，只有一个是符合要求的，请在答题卡上将所选择的字母涂黑。

真题（2019-1）-比例应用题

1、某车间计划 10 天完成一项任务，工作 3 天后因故停工 2 天。若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（ ）
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
E.60%

工程问题
设工作效率需要提高x，原工作效率为$\frac{1}{10}$ ，根据题意，得
$\frac{1}{10}\times 3+\frac{1}{10}\times (1+x)\times 5=1$，解得：x=40%

真题（2019-2）-绝对值不等式

2、设函数$f(x)=2x+\frac{a}{x^2}(a＞0)$ 内$(0,+\infty )$的最小值为$f(x_0)=12$，则$x_0$=( )
A.5
B.4
C.3
D.2
E.1

$f(x)=2x+\frac{a}{x^2}=x+x+\frac{a}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{x\cdot x\cdot \frac{a}{x^2}}=3\sqrt[3]{a}$
故当$x=x=\frac{a}{x^2}$时，f(x)取得最小值，即有
$$\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{a}{x_0^2}\\ f(x_0)=3\sqrt[3]{a}=12\end{array}$$
解得：$x_0=4$

2019-03

3、某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男女观众人数之比为（ ）
A.3：4
B.5：6
C.12：13
D.13：12
E.4：3

【解析】母题99·图像图表问题＋母题92·比例问题
观察图像，可知一季度男观众的总人数为5＋4＋3=12(万人)，女观众的总人数为6＋3＋4=13(万人)
则一季度的男、女观众人数之比为12∶13

2019-04

4、设实数 a, b 满足 ab = 6 ，$|a+b|+|a-b|=6$ ，则 $a^2+b^2$ =（ ）

A.10
B.11
C.12
D.13
E.14

【解析】母题13·绝对值方程和绝对值不等式
由题意知目的是求$a^2+b^2$的值，故a，b的大小关系不影响结果。
又由ab=6知，a,b同号。不妨设a>b＞0，则已知条件可转化为。解得a=3，b=2。
满足所给条件，可得$a^2+b^2=13$。故应选(D).
【快速得分法】特殊值法，易观察可令a=3，b=2。

5、设圆C与圆$（x-5{）}^2+y^2=2$关于$y=2x$ 对称，则圆 C 方程为（ ）
A.$（x-3{）}^2+（y-4{）}^2=2$
B.$（x+4{）}^2+（y-3{）}^2=2$
C.$（x-3{）}^2+（y+4{）}^2=2$
D.$（x+3{）}^2+（y-3{）}^2=2$
E.$（x+3{）}^2+（y-4{）}^2=2$
对称问题
圆$(x-5{)}^2+y^2=2$的圆心为（5,0），关于直线y=2x的对称点设为（x,y），则
$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{2}=2\cdot \frac{x+5}{12}，\\ \frac{y}{x-5}=-\frac{1}{2},\end{array}$$
解得：$$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=4\end{array}$$
所以圆C的方程为$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=2$

6、将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔 3 米种一棵，那么剩下 10棵树苗；如果每隔 2 米种一棵，那么恰好种满正方形的 3 条边，则这批树苗有（）棵。

A.54
B.60
C.70
D.82
E.94

【解析】母题90·简单算术应用题(植树问题)设正方形的边长为c,则
若每隔3米种一棵树，则每条边种$\frac{x}{3}+1$棵树，但四角有重合，故共$4(\frac{x}{3}+1)-4$棵树.
若每隔2米种一棵树，则每条边种$\frac{x}{2}+1$棵树，但两角有重合，故共$(\frac{x}{2}+1)\cdot 3-2$棵树。
设树苗共有y棵，则有
$$\{\begin{array}{l}4(\frac{y}{2}+1)-4=y-10，\\ (\frac{x}{2}+1)\cdot 3-2=y,\end{array}$$
解得x=54,y=82

7、在分别标记 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片，甲抽取一张，乙从余下的卡片中再抽取 2 张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）
A.$\frac{11}{60}$
B.$\frac{13}{60}$
C.$\frac{43}{60}$
D.$\frac{47}{60}$
E.$\frac{49}{60}$

【解析】母题82·古典概型方法一：采用穷举法.
当甲抽取卡片1时，乙有$C_5^2=10$(种)选法；
当甲抽取卡片2时，乙有$C_5^2=10$(种)选法；
当甲抽取卡片3时，乙有9种选法；
当甲抽取卡片4时，乙有8种选法；
当甲抽取卡片5时，乙有6种选法；
当甲抽取卡片6时，乙有4种选法。
以上合计47种选法。
总的事件数为$C_5^1{C}_5^2=60$(种)，故所求概率为$\frac{47}{60}$。
方法二：求对立事件
事件总数为$C_5^1{C}_5^2=60$(种).
如果甲抽取卡片6，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(5,1),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(1,2),共6种；
如果甲抽取卡片5，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(4,1),(3,2),(3,1),(1,2),共4种；
如果甲抽取卡片4，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(3,1),(1,2),共2种；
如果甲抽取卡片3，则乙的卡片数字之和小于等于甲的情况有(1,2)，共1种。
故所求概率=$1-\frac{6+4+2+1}{60}=\frac{47}{60}$，故选(D).

8、10 名同学的语文和数学成绩如表

语文成绩	90	92	94	88	86	95	87	89	91	93
数学成绩	94	88	96	93	90	85	84	80	82	98

语文和数学成绩的均值分别为 $E_1$ 和 $E_2$ ，标准差分别为${\sigma }_1$和 ${\sigma }_2$，则
A.$E_1＞E_2，{\sigma }_1＞{\sigma }_2$
B.$E_1＞E_2，{\sigma }_1＜{\sigma }_2$
C.$E_1＞E_2，{\sigma }_1={\sigma }_2$
D.$E_1＜E_2，{\sigma }_1＞{\sigma }_2$
E.$E_1＜E_2，{\sigma }_1＜{\sigma }_2$

【解析】母题99·图像图表问题＋母题18·平均值与方差
$E_1=\frac{90+92+94+88+86+95+87+89+91+93}{10}=90.5$
$E_2=\frac{94＋88＋96＋93+90+85+84+80+82+98}{10}=89$
显然$E_1＞E_2$，通过观察可知语文成绩的离散程度小于数学成绩，故有${\sigma }_1＜{\sigma }_2$。或者通过计算方差也可得出答案。

9、如图，正方体位于半径为 3 的球内，且一面位于球的大圆上，则正方体表面积最大为（）
A.12
B.18
C.24
D.30
E.36

方法一：如图9所示，当正方体上面4个点和半球体表面相接时，正方体表面积最大。设正方体的边长为a，球体半径为R，可知、$\sqrt{a^2+a^2+(2a{)}^2}=6$，解得表面积为$6a^2=36$。
方法二：将此上半球对称成下半球，补成完整的球体，则有边长为$a,a,2a$的长方体与球相接，则长方体的体对角线等于球体直径，即$\sqrt{a^2+a^2+(2a{)}^2}=2R=6$，解得表面积为$6a^2=36$。

10、某中学的 5 个学科各推荐 2 名教师作为支教候选人，若从中选出来自不同学科的 2 人参加支教工作，则不同的选派方式有( )种
A. 20
B. 24
C. 30
D. 40
E. 45
【解析】母题56·三角形的心及其他基本问题
方法一：如图10所示,过A点作直线AE⊥BC。
设$|DE|=x$，则由题意知$|BE|=4-x，|CE|=4＋x$
在△ABE中用勾股定理，有$|AE{|}^2=|AB{|}^2-|BE{|}^2=4^2-(4-x{)}^2$。
在△ACE中用勾股定理，有$|AE{|}^2=|AC{|}^2-|CE{|}^2=6^2-(4＋x{)}^2$。
联立两式，得$x=\frac{5}{4}$
在△ADE中用勾股定理，有
$|AD{|}^2=|AE{|}^2+|DE{|}^2=6^2-(4+x{)}^2+x^2=10$
故有$|AD|=\sqrt{10}$，选(B)。
方法二：余弦定理
根据余弦定理，可知$cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
对△ABC和△ABD分别使用余弦定理可得
$\frac{4^2+8^2-6^2}{2\times 4\times 8}=$$\frac{4^2-4^2-|AD{|}^2}{2\times 4\times 4}$
解得$|AD|=\sqrt{10}$

11、某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需 6 天完成，工时费共 2.4 万元。若甲公司单独做 4 天后由乙公司接着做 9 天完成，工时费共计 2.35 万元。若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（）万元

A.2.25
B.2.35
C.2.4
D.2.45
E.2.5

12、如图，六边形 ABCDEF 是平面与棱长为 2 的正方体所截得到的，若 A，B，D，E 分别为相应棱的中点，则六边形 ABCDEF 的面积为（）

A.$\sqrt{\frac{3}{2}}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
E.$4\sqrt{3}$

13、货车行驶 72km 用时 1 小时，速度V 与行驶时间t 的关系如图所示，则$V_o=$

A.72
B.80
C.90
D.85
E.100

14、在三角形 ABC 中， AB =4, AC =6, BC =8 ，D 为BC 的中点，则 AD =（ ）

A.$\sqrt{11}$
B.$\sqrt{10}$
C.3
D. $2\sqrt{2}$
E. $\sqrt{7}$

15、设数列{$a_n$}满足$a_1=0,a_{n+1}-2a_n=1$，则$a_{100}=$（）
A.$2^{99}-1$
B.$2^{99}$
C.$2^{99}+1$
D.$2^{100}-1$
E.$2^{100}+1$

二．条件充分性判断：第 16-25 小题，每小题 3 分，共 30 分。

要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论 A、B、C、D、E 五个选项为判断结果，请选择一项符合试题要求的判断，请在答题卡上将所选的字母涂黑。
（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分
（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分
（C） 条件（1）和（2）都不充分，但联合起来充分
（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分
（E） 条件（1）不充分，条件（2）也不充分，联合起来仍不充分

16、甲、乙、丙三人各自拥有不超过 10 本图书，甲再购入 2 本图书后，他们拥有的图书量构成等比数列，则能确定甲拥有图书的数量
(1) 已知乙拥有的图书数量
(2) 已知丙拥有的图书数量

17、有甲乙两袋奖券，获奖率分别为 p 和q ，某人从两袋中各随机抽取 1 张奖券，则此人获奖的概率不小于$\frac{3}{2}$

(1) 已经$p+q=1$

(2) 已知 $pq=\frac{1}{4}$

18、直线 $y=kx$ 与圆 $x^2+y^2-4x+3=0$ 有两个交点

（1）$-\frac{\sqrt{3}}{3}＜k＜0$

（2）$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$

19、能确定小明年龄
（1）小明年龄是完全平方数
（2）20年后小明年龄是完全平方数

20、关于 x 的方程$x^2+ax+b=1$有实根

(1) a +b =0
(2) a −b =0

21、如图，已知正方形 ABCD 面积，O 为 BC 上一点，P 为 AO 的中点，Q 为 DO 上一点，则能确定三角形 PQD 的面积。

（1）O 为 BC 的三等分点
（2）Q 为 DO 的三等分点

22、设 n 为正整数，则能确定n 除以 5 的余数
(1) 已知 n 除以 2 的余数
(2) 已知n 除以 3 的余数

23、某校理学院五个系每年录取人数如下表：

系数	数学系	物理系	化学系	生物系	地学系
录取人数	60	120	90	60	30

今年与去年相比，物理系平均分没交，则理学院录取平均分升高了。
(1) 数学系录取平均分升高了 3 分，生物系录取平均分降低了 2 分
(2) 化学系录取平均分升高了 1 分，地学系录取平均分降低了 4 分

24、设三角区域D由直线$x+8y-56=0,x-6y+42=0$与$kx-y+8-6k=0(k＜0)$围成，则对任意的$(x,y)$，$lg(x^2+y^2)\le 2$

（1）$k\in (-\infty ,-1]$
（2）$k\in [-1,-\frac{1}{8})$

25、设数列{$a_n$}的前n项和为$S_n$，则{$a_n$}等差
（1）$S_n=n^2+2n,n=1,2,3$
（2）$S_n=n^{+}2n+1,n=1,2,3$

【解析】母题51·等差数列与等比数列的判定
条件（1）：$a=S.-S.1=n2十2n-(n—1)2—2(n-1)=2n十1$，得$an+1—a=2$，又$a=S=3$，故条件(1)充分。
条件（2）：$a=S.-S.-1=n十2n十1一(n—1)2一2(n—1)-1=2n十1$，得$a=3$,又$S=12＋2\times 1＋1=4\ne 3=a$，故条件(2)不充分。
【快速得分法】等差数列的$S_n$形如一个没有常数项的一元二次函数，故条件(1)充分，条件(2)不充分，故选(A).

2019年1月管理类联考数学参考答案

1-5 CBCDE
6-10 DDBED
11-15 EDCBA
16-20 CDACC
21-25 BECAA