codeforce 111D Petya and Coloring（组合计数）

题目链接：http://codeforces.com/contest/111/problem/D

题意：给出一个n*m的方格，用K种颜色染色。定义A[i,j]表示第i列到第j列所有格子不同的颜色数。求有多少种染色方案使得所有的1<=i<m，满足A[1,i]=A[i+1,m]?

思路：首先可以得到：

（1）A[1,1]=A[m,m]，也就是第一列和最后一列不同的颜色数相同。否则，不妨设A[1,1]<A[m,m]，那么A[1,1]<A[2,m]。

（2）设第一列和最后一列相同的颜色数为i，不同的颜色数为j，那么A[1,1]=A[m,m]=i+j。且中间m-2列的格子的所有颜色都是i种颜色中的颜色。

我们用f[i]表示用i种颜色染色n个格子的方案数，那么有:

最后计算答案：

（1）若m=1，ans=K^n;

（2）m>=2，ans=C(K,i)*C(K-i,j)*C(K-i-j,j)*f[i+j]*f[i+j]*pow(i,n*(m-2))。

i64 a[N];



void init()

{

    int i;

    a[0]=1;

    for(i=1;i<N;i++) a[i]=a[i-1]*i%mod;

}



i64 exGcd(i64 a,i64 b,i64 &x,i64 &y)

{

    if(b==0)

    {

        x=1; y=0;

        return a;

    }

    i64 temp=exGcd(b,a%b,x,y);

    i64 k=x;

    x=y;

    y=k-a/b*y;

    return temp;

}



i64 reverse(i64 a,i64 b)

{

    i64 x,y;

    exGcd(a,b,x,y);

    x%=b;

    if(x<0) x+=b;

    return x;

}



i64 C(int n,int m)

{

    return a[n]*reverse(a[m]*a[n-m]%mod,mod)%mod;

}



int n,m,K;

i64 f[N];



i64 Pow(i64 a,i64 b)

{

    i64 ans=1;

    while(b)

    {

        if(b&1) ans=ans*a%mod;

        a=a*a%mod;

        b>>=1;

    }

    return ans;

}



void init1()

{

    f[1]=1;

    int i,j;

    for(i=2;i<=n;i++)

    {

        f[i]=Pow(i,n);

        for(j=1;j<i;j++) (f[i]-=C(i,j)*f[j]%mod)%=mod;

        if(f[i]<0) f[i]+=mod;

    }

}



int main()

{

    init();

    Rush(n)

    {

        RD(m,K);

        if(m==1) PR(Pow(K,n));

        else

        {

            init1();

            i64 ans=0,i,j;

            for(i=0;i<=n;i++) for(j=0;i+j<=n;j++)

            {

                if(i==0&&j==0) continue;

                if(i+j+j>K) continue;

                i64 temp=C(K,i)*C(K-i,j)%mod*C(K-i-j,j)%mod;

                temp=temp*f[i+j]%mod*f[i+j]%mod;

                temp=temp*Pow(i,n*(m-2))%mod;

                ans=(ans+temp)%mod;

            }

            PR(ans);

        }

    }

}