代数几何（四）

代数几何的函数——理论法

虽然双有理变换的本质是清楚的，但双有理变换下不变量研究的代数几何的进展不尽如人意：处理方法用过了；结果不相互联系，是零碎的；大多数证明是不完全的；少有重要定理；处理方法多样，造成用语不同；主题的目标模糊。虽然双有理变换下的不变性曾是主导课题，但内容包括对曲线、曲面以及高维结构的性质研究。由于上述因素，没有得到很多中心结果，以下是几个主要结果。
克莱布什（Rudolf Friedrich Alfred Clebsch，1833-1872）创立了第一种处理方式。1850-1854年间他在柯尼斯堡跟黑塞搞研究。早期兴趣在数学物理方面，1858-1863任理论力学教授，后来在哥廷根任数学教授。他研究了雅可比变分法中留下的问题和微分方程理论，1862年他出版《弹性学教程》，但他主要工作是代数不变量和代数几何。
约1860年，克莱布什研究三次、四次曲线和曲面的射影性质，1863年他遇到哥尔丹并获悉黎曼在复变函数论的工作，克莱布什于是将这个理论用于曲线。这种方法叫超越法。虽然克莱布什使复变函数与代数曲线发生联系，但他在给Gustav Roch的信中说自己不理解黎曼在阿贝尔函数的工作，也不懂Roch的学位论文。
克莱布什用以下方式重新解释复变函数论：函数f(w,z)=0，w,z是复变量，在几何上对应z的一个黎曼曲面和一个w平面或其一部分，也可以说对应黎曼曲面上面每个点有z,w的一对数值。若只考虑z,w实部，方程表示实笛卡尔坐标平面的一条曲线。z,w仍有满足方程的复数值，但不能作图。从射影几何工作已知实曲线具有复数点，平面曲线的双有理变换论对应曲面的双有理变换论，在新解释下，黎曼曲面的支点对应于一条直线x=常量与曲线相交于两个或多个相合的点，即曲面与曲线相切或者过一个尖点。曲线上的二重点相当于两叶曲面相切而无其它相接点。曲线上的高阶重点也相当于黎曼曲面的其它奇点。
点的定义参考十八世纪的解析几何和微分几何（二），n次平面曲线的k>1阶重点（奇点）P：过P的普通直线与曲线相交于n-k个点，若在P点的k条切线是相异的，这个重点是寻常点。计算n次曲线与m次曲线交点数目时，重点的重数必须计算在内，若交点P在曲线上是h重的，而在上是k重的，且在P点的切线与的切线不相同，则交点的重数是hk，若曲线C的重点都是寻常点或尖点，且C的每个k阶重点是曲线C'的一个k-1阶重点，则称曲线C'伴随于曲线C。
克莱布什第一个用曲线术语重新叙述了第一类阿贝尔积分定理（见单复变函数），阿贝尔考虑一个固定的有理函数R(x,y)，其中x,y通过代数曲线f(x,y)=0关联，使y是x的函数，设下图f=0为另一代数曲线Φ(x,y,a1,a2,...,ak)=0所截，其中ai是系数，设Φ=0和f=0的交点为(x1,y1),...(xm,ym)（点的个数m是f与Φ的次数的乘积），已知f=0上一点(x0,y0)，y0属于f=0的一个分支，则可考虑和式，上限xi,yi都在Φ=0上，积分I是上限的函数。于是这些上限有一个特征数p，是其余上限的代数函数，数p只与f有关。此外I能表示成这p个积分与xi,yi的有理函数与对数函数之和。若曲线Φ=0随参量a1变到ak而发生改变，则xi也将变化，I通过xi成为ai的函数，函数I是ai的有理函数，或在最坏情况下也只包括ai的对数函数。

代数曲线f=0，Φ=0