DP算法入门

说句实话，动规的题目真的是……，变化莫测，可能你在学这个东西的时候只是一个菜鸟，但学完它，你将会脱胎换骨，进入大佬的殿堂，一个新的进阶，在 $DP$ 中有简单的几分钟就能写完的 走楼梯，也有几个月都写不完的 DP模板。

总之，进入了DP，你将会变得不一样。

请大家在观看之前给作者的博客一个免费的赞吧，或者关注一下作者的洛谷也行的。

作者的洛谷

动态规划的引入

先说一嘴，DP很长，所以我分了几段。

刷题网站:

进阶篇提单

什么问题可以使用动态规划？

(1)最优子结构–原问题的最优解包含子问题最优解

(2)子问题重叠$\approx$递归–记忆化搜索，斐波那契数列。

方法：建立答案数组，需要时直接查表。
特征:从下到上。(这点很重要!)
注意:此条件为必要不充分条件。

(3)无后效性

后效性:前面状态未解

常用的动态规划的模板：

(1)背包问题

(2)线性DP(这个好像是最简单的……)

(3)区间DP

(4)树形DP

(5)数位DP–背包类树形DP，二次扫描与换根

(6)状态压缩DP

(7)插头DP–单回路，多回路。

但是有些时候还是会 $TLE$ 怎么办呢？

常用的优化：

(1)倍增优化

(2)数据结构优化

(3)单调队列优化

(4)斜率优化

(5)四边不等式优化

3.动态规划的秘籍是什么呢？(有向无环图)

$FIRST$ : 三要素：

(1)状态

(2)阶段

(3)决策

---

举个例子

$EXAMPLE$ :

使用动态规划求解单源最短路径问题。

算法: 贪心或动态规划

分析：

求解k号的最短路径时，只需找与它相连接的节点的路径的最小值。
并且，此问题满足无后效性，所以可以使用DP。

表示:

(1)状态:

$dp[i]$ 表示从原点到各个节点的最短路径

(2)阶段:

拓扑顺序

(3)决策:

选最大值，最小值，求和。
公式: $dp[i]=min(dp[j]+w[j][i])$
$w[j][i]$ 表示的通往第 $i$ 个地点的路径的长度。

此公式就是这个问题的状态转移方程。
只找上一个状态即可。

(4)初始化

$dp[1]=0$ 需要有一个开始的条件。

状态转移方程无法推到的项，不一定一定是第一项。

(5)求解目标

最后这两步是简单但是易错的，需要注意。

---

其实，以上这点对你的做题方法几乎没什么用，但是这对你认识新问题非常有用，毕竟授之以鱼不如授之以渔吗

学习动态规划还是需要见多识广的。

方法汇总:不能只看自己书上的题目，而要自己多多刷题，努力总结做题方法。

线性DP

具有线性阶段划分的动态规划算法成为线性动态规划(简称线性DP)。若状态包含多个维度(如二维，三维)，则每个维度都是线性划分的阶段，也属于线性DP。（说直白点，就是递归和递推……）

概念有点无聊，直接看算法吧。

例子:走楼梯（低精的）

一个楼梯共有 $M$ 级台阶，刚开始，我们站在第 $1$ 级台阶上，若每次只能走上一级或两级台阶，则走上第 $M$ 级台阶共有多少种走法？

输入

第一行: 一个整数 $N$

然后 $N$ 行，表示楼梯的级数。

输出:

共 $n$ 行，每行对应一个答案。

分析

在这到题目中，爬楼梯的状态是不会改变的。

我们要定义这么一个东西:

状态 ： $dp[i]$ 表示第 $i$ 层有多少种走法。

决策 ： 其实就是状态转移方程 $dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$ 这个方程满足无后效性，所以可以使用动态规划。(就是斐波那契数列)

确定问题的过程:

(1)确定状态 : $dp[i]$表示走上第 $i$ 层台阶有多少种走法。

(2)划分状态 : 台阶的阶数

(3)决策选择 : 走上第 $i$ 层台阶之前的状态为站在第 $i-1$ 层台阶或第 $i-2$ 层台阶上。

(4)边界条件 : $dp[1]=0$ $dp[2]=1$ $dp[3]=2$（本来就在第一阶）

(5)求解目标 : $dp[m]$

代码实现方法

$(1)$ 递归

时间复杂度 $O(2^k)$ 几乎是一个完全树。

$(2)$ 记忆化递归

可以避免重复，不重复求解。

$(3)$ 动态规划

效果等于记忆化搜索

$(4)$ 优化空间复杂度

$O(n)$ 变为 $O(1)$

$(5)$ 带上一点点打表

时间大优化！

总体代码：

#include
#include//memset的清零头文件
using namespace std;
const int maxn=40000;//数据范围
int m,T,dp[maxn+5];
int solve_1(int n){//递归容易TLE
	//time∈[920ms,1000ms]
	if(n<=3)return n-1;//递归的结束条件
	return solve_1(n-1)+solve_1(n-2);
}
int solve_2(int n){//记忆化递归,效果等同于动态规划
	//time=15ms
	//加上memset--31ms
	if(dp[n]!=0)return dp[n];
	if(n<=3)return dp[n]=n-1;
	return dp[n]=solve_2(n-1)+solve_2(n-2);
}
int solve_3(int n){//动态规划，15ms
	dp[1]=0;dp[2]=1;dp[3]=2;
	for(int i=4;i<=n;i++)dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
	return dp[n];
}
int solve_4(int n){//动态规划，15ms
	//空间优化
	if(n<=3)return n-1;
	int s_1=1,s_2=2;
	for(int i=4;i<=n;i++){
		s_2=s_1+s_2;
		s_1=s_2-s_1;
	}
	return s_2;
}
void solve(){//动态规划(打表法)其实好像是提前把每一个数算出来
	//time=1ms到0ms
	dp[1]=0;dp[2]=1;dp[3]=2;
	for(int i=4;i<=maxn;i++)dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	solve();
	for(int i=1;i<=T;i++){
		scanf("%d",&m);
		//printf("%d\n",solve_1(m));
		//memset(dp,0,sizeof(m));
		//如果每次变化，需要初始化为0
		printf("%d\n",solve_2(m));
		printf("%d\n",solve_3(m));
		printf("%d\n",solve_4(m));
		printf("%d\n",dp[m]);
	}
	return 0;
}

延伸思考：

过河卒

动态转移方程:

$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$

那么，今天就先讲到这里，我们下次再见吧！

大家要持续追更哦。