数学--函数1（初中生都能看懂）

最近有一些空闲的时间了，于是让朋友带来一本高等数学学习一下。
第一章便是 $函数，极限和连续$。

函数

函数的概念

第一节（1.1.1.1）主要讲了函数的定义，在这里说明一下：

若 $X,Y$ 都是是实数集合，则两实数集合之间的映射 $f:xB$ 成为函数。
函数是两个实数集合之间的一种对应法则。

我们说的直白一点，就是对于在函数定义域（就是 $x$ 能取到的数）每个数 $x$，都有与这个 $x$ 所对应的值 $f(x)$，也就是初中学的 $y$。这个没什么好说的。

举个例子

我们肯定学过一次函数 $f(x)=x$ 这个是一个简单的一次函数。图像也很好画，这里就不过多赘述了。
我们可以使用表格发来列举一下：

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$\cdot \cdot \cdot$
$f(x)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$\cdot \cdot \cdot$

我们发现如果一个数 $x\in R$，那么总有一个与之对应的函数值 $f(x)=x$。

注意事项

$（1）$ 函数的概念中包含三个要素- -即为定义域，值域，和对应法则。但是，确定函数的关键是对应法则和定义域。因此对于两个函数来说，当且仅当他们的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是同一个函数。与自变量以及因变量用什么字母表示没有关系。

例如：函数 $f(x)=x$ 和函数 $f(x)=\frac{x^2}{x}$ 并不是一个函数，应为在第二个函数 $f(x)=\frac{x^2}{x}$ 中，$x$ 的定义与为 $x\in R$ 并且 $x\ne 0$，但是，在第一个函数中，$x$ 的定义域就是 $x\in R$。两个函数的定义域明显不同，所以即便两个函数化简过后相同，这两个函数也不一定相同，这就是一个很好的例子。

$（2）$ 关于函数定义域的确定可分为两种情况，对于实际问题，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的（例如你去买菜，菜的重量一定不是负数）。对于未标明意义的函数，其定义域一般是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。

例如：$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，这个函数的定义域就是$x\in [-1,1]$，解两个不等式就可以了。

$（3）$ 我们给出的函数定义只有一个自变量，因此称之为一元函数，并且对于自变量 $x$ 在定义域内的每一个值，因变量 $y$ 总有唯一一个确定的值与之对应，这样的函数称为但是函数。以后，在没有特殊说明的情况下，我们讨论的函数均为单值函数。
$（4）$ 函数的表示方式常用的有三种（这个好像初中就学过），即为表格法（如上面例子），解析法和图像法（如下图）。

我们在写题目的过程中还会遇到这样的函数：
$1.符号函数$

$$\begin{array}{c}y=sgn(x)=\{\begin{array}{rr}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}\end{array}$$

$2.绝对值函数$

$$\begin{array}{c}y=|x|=\{\begin{array}{rr}x& x>0\\ 0& x=0\\ -x& x<0\end{array}\end{array}$$

这种 分段函数 也是需要我们注意的。
另外，再补充一个吧：取整函数和取小数部分的函数：

取整函数：$f(x)=[x]$

取小数函数：$f(x)=$ {$x$}

课后习题：(答案会在下一期公布)

$(1)$ 求下列函数的定义域：

$1.$ $f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$

$2.$ $f(x)=\sqrt{2-x}+lo{g}_2(x-1)$

$(2)$ 下列函数是否相同？

$1.$ $f(x)=\ln x^2,g(x)=2\ln x$

$2.$ $f(x)=\sqrt{(x-1{)}^2},g(x)=|x-1|$

我们下一期再见吧！

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