时间复杂度的计算

• 时间复杂度

  时间复杂度是指程序运行从开始到结束所需要的时间。

  一个算法是由**控制结构（顺序、分支、循环）和原操作（固有数据类型的操作）**构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。

  直接计算时间复杂度是比较麻烦的，一般从算法中选取一种对于所研究的问题来说是基本操作的原操作，以该基本操作重复执行的次数作为算法的时间度量。

  时间频度,又称为语句频度，一个算法中的语句执行次数，记为$T(n)$.

  基本操作应是其重复执行次数和算法时间成正比的原操作，多数情况下它是最深层循环内的语句中的操作。

  算法的执行次数还要随输入集有关，此时要考虑所有可能输入数据的期望值，此时的算法时间复杂度叫平均时间复杂度。

  如果平均时间复杂度难以确定，此时分析最坏情况下的一个上届，称为最坏时间复杂度。

• 时间复杂度的表示方法

  $n$：解决一个问题的规模；

  $f(n)$：基本操作被重复执行次数；

  $T(n)=O(f(n))$：（渐进）时间复杂度。表示随着问题规模$n$的增长，算法执行时的增长率和$f(n)$的增长率相同。

  算法的时间复杂度考虑的只是对于问题规模$n$的增长率，则在难以精确计算的情况下，只需考虑它关于$n$的增长率或阶即可。

• 时间复杂度的计算方法

  当有多个循环，计算每个循环的时间复杂度，并相加，再利用下面的简化法则。

  （针对已经计算好的运行时间进行简化）

  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数；
  2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
  3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数；

• 时间复杂度常见类型

  1. 常数阶
  2. 对数阶
  3. 线性阶
  4. 线性对数
  5. 平方阶
  6. 立方阶
  7. k次方阶
  8. 指数阶

• References

1. 常用算法时间复杂度的计算方法

2. 第14话：如何计算算法的时间复杂度

3. 算法复杂度

4. 算法的复杂度问题