07_欠阻尼二阶系统动态性能指标计算

欠阻尼二阶系统动态性能指标计算

二阶系统的经典结构

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{w_n^2}{s(s+2\xi w_n)}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_{n}s+w_n^2}\end{array}$$

欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法

直角坐标系表示

$${\lambda }_{1,2}=\sigma \pm j{w}_d=-\xi w_n\pm j\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n$$

• $w_d$: 阻尼振荡频率(也是特征根的虚部)
• $w_n$: 自然频率(无阻尼振荡频率)
• $\xi$: 阻尼比
• $w_d=\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n$

"极"坐标表示

$$\{\begin{array}{l}|\lambda |=w_n\\ \angle \lambda =\beta \end{array}\{\begin{array}{l}\cos \beta =\xi \\ \sin \beta =\sqrt{1-{\xi }^2}\end{array}$$

• $\beta$: 阻尼角
• 极点与原点的距离为$w_n$

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

$$\begin{array}{rl}C(s)& =\Phi (s)R(s)=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_{n}s+w_n^2}\cdot \frac{1}{s}\\ h(t)& =1-\frac{e^{-\xi w_{n}t}}{\sqrt{1-{\xi }^2}}\sin (\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n+\beta )(0\le \xi <1)\end{array}$$

• $h(t)=1-\frac{e^{-\sigma t}}{\sin \beta }\cdot \sin (w_d+\beta )$
• $\sigma$为特征根的实部
• $w_d$为特征根的虚部
• $\beta$为阻尼角

$\xi =0,\beta =90°$时

$$h(t)=1-\cos w_{n}t$$

$0<\xi <1$时

• 系统响应在$(1+\frac{e^{-\sigma t}}{\sin \beta })$和$(1-\frac{e^{-\sigma t}}{\sin \beta })$之间(上下包络线之间)

欠阻尼二阶系统动态性能指标计算(重点)

峰值时间$t_p$

$$t_p=\frac{\pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n}$$

• 峰值时间的定义为$\pi$比上极点的虚部

超调量$\sigma \%$

$$\begin{array}{rl}\sigma \%& =e^{-\frac{\xi \pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}\times 100\%\\ & =e^{-\frac{\cos \beta \pi }{\sin \beta }}\times 100\%\\ & =e^{-\pi \cot \beta }\times 100\%\end{array}$$

• $\xi \uparrow \cos \beta \uparrow \sin \beta \downarrow \cot \beta \uparrow \sigma \%\downarrow$
• 超调量只与阻尼比有关
• $cot\beta$也是实部比虚部

调节时间$t_s$

$$\begin{array}{rl}{t}_s& =\frac{3.5}{\xi w_n}(\Delta \%=5\%)\\ t_s& =\frac{4.5}{\xi w_n}(\Delta \%=2\%)\end{array}$$

• 调节时间与极点的实部有关
• 实部绝对值越大，调节时间越短(负半轴)
• 调节时间根据包络线计算(不是严格意义上的调节时间)

“最佳阻尼比” $\xi =0.707$时,$w_n$确定时，$t_s$实际最小

二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律

• 实部不变，虚部越大$t_p\downarrow \beta \uparrow \xi \downarrow \sigma \%\uparrow t_s不变$
• 虚部不变，实部变大(绝对值)$t_s\downarrow \beta \downarrow \sigma \%\downarrow t_p不变$
• $\beta$不变时, 实部虚部一起变大$\xi 不变\sigma \%不变t_s\downarrow t_p\downarrow$

例题

例1 控制系统结构如图所示

(1) 开环增益K=10时，求系统的动态性能指标

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{10}{s(0.1s+1)}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{10}{0.1s^2+s+10}=\frac{100}{10s^2+10s+100}\\ & \{\begin{array}{l}{w}_n^2=10\\ 2\xi w_n=100\end{array}\{\begin{array}{l}{w}_n=10\\ \xi =0.5\end{array}\\ t_p& =\frac{\pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n}=0.363\\ \sigma \%& =e^{-\frac{\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}=16.3\%\\ t_s& =\frac{3.5}{\xi w_n}=0.7(\Delta =5\%)\end{array}$$

(2) 确定使系统阻尼比$\xi =0.707$的K值

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{K}{s(0.1s+1)}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K}{0.1s^2+s+K}=\frac{10K}{s^2+10s+10K}\\ & \{\begin{array}{l}{w}_n^2=10K\\ 2\xi w_n=10\end{array}\\ K& =(\frac{5}{\xi }{)}^2\cdot \frac{1}{10}=\frac{25}{10{\xi }^2}=5\end{array}$$

例2 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图(a),(b)所示。试确定系统参数$K_1,K_2,a$的值。

$$\begin{array}{rl}\Phi (s)& =\frac{K_1\frac{K_2}{s(s+a)}}{1+\frac{K_2}{s(s+a)}}=\frac{K_1{K}_2}{s^2+as+K_2}\\ & \{\begin{array}{l}{K}_2=w_n^2\\ a=2\xi w_n\end{array}\\ 由& 单位阶跃响应曲线有\\ h(\infty )& =2=\underset{s\to 0}{\lim }s\Phi (s)R(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{K_1{K}_2}{s^2+as+K_2}=K_1\\ & \{\begin{array}{l}{t}_p=\frac{\pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}{w}_n}=0.75\\ \sigma \%=e^{-\frac{\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}=0.09\end{array}\\ 解得& \{\begin{array}{l}\xi =0.608\\ w_n=5.278\end{array}\\ & \{\begin{array}{l}{K}_2=27.85\\ a=6.42\end{array}\\ 因此有& K_1=2K_2=27.85a=6.42\end{array}$$

例3 典型欠阻尼系统要求$\{\begin{array}{l}5\%\le \sigma \%<16.3\%\\ 2<w_n<5\end{array}$ 试确定满足要求的系统极点分布范围

参考资料

【（新版！最清晰！去噪不炸耳！）自动控制原理 西北工业大学 卢京潮】