高中奥数 2021-08-20

2021-08-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P015 例04）

如图,为内一点,使得,,,.求证:是等腰三角形.(1996,美国数学奥林匹克)

图1

证明

设,则.

对和点应用角元塞瓦定理有

$\begin{aligned}1&=\dfrac{\sin \angle APB}{\sin \angle BPC}\cdot \dfrac{\sin \angle PCB}{\sin \angle BCA}\cdot \dfrac{\sin \angle CAB}{\sin \angle BAP}\\&=\dfrac{\sin 150^{\circ}}{\sin 100^{\circ}}\cdot \dfrac{\sin \left(x-30^{\circ}\right)}{\sin x}\cdot \dfrac{\sin 50^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}.\end{aligned}$

则

故.

所以,.

因此.

又因为,所以为等腰三角形.

2021-08-20-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P016 例05）

如图,在四边形中,,,,.求的度数.

图2

解

设,则由于,,,,则,,所以.

对和点应用角元塞瓦定理有

$\begin{aligned} 1&=\dfrac{\sin \angle DCA}{\sin \angle ACB}\cdot \dfrac{\sin \angle CBA}{\sin \angle ABD}\cdot \dfrac{\sin \angle BDA}{\sin \angle ADC}\\&=\dfrac{\sin 13^{\circ}}{\sin 73^{\circ}}\cdot \dfrac{\sin 77^{\circ}}{\sin 26^{\circ}}\cdot \dfrac{\sin x}{\sin \left(x+43^{\circ}\right)} \end{aligned}$

则

$\begin{aligned} &\dfrac{\sin \left(x+43^{\circ}\right)}{\sin x}=\dfrac{\sin 13^{\circ}\cdot \sin 77}{\sin 73^{\circ}\cdot \sin 26^{\circ}}=\dfrac{\sin 13^{\circ}\cdot \cos 13^{\circ}}{\sin 73^{\circ}\cdot \sin 26^{\circ}}\\=&\dfrac{1}{2\sin 73^{\circ}}=\dfrac{\sin 30}{\sin 73}=\dfrac{\sin 150^{\circ}}{\sin 107^{\circ}}\\=&\dfrac{\sin \left(107^{\circ}+43^{\circ}\right)}{\sin 107^{\circ}} \end{aligned}$

故.

所以,.

2021-08-20-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文三角形中的几个重要定理及其应用 P016 例06）

如图,点、、分别在锐角的边、、上(均不是端点),满足,是边上一点(不同于、、),过作,,分别交、两边于点、,连结,再在上方(与同侧)作,使得,连结.求证:、、三线共点.

图3

证明

连结、,设交于,易知在线段.

上以下证在上.

注意,,故,.

再连结、,由梅氏定理得

$\begin{aligned} \dfrac{F_{1} K}{K E_{1}} &=\dfrac{F_{1} F}{F A} \cdot \dfrac{A E}{E E_{1}}=\dfrac{D D_{1} \cdot \dfrac{B F_{1}}{B D_{1}}}{F A} \dfrac{A E}{D D_{1} \cdot \dfrac{C E_{1}}{C D_{1}}}=\dfrac{A E}{A F} \cdot \dfrac{C D_{1}}{B D_{1}} \cdot \dfrac{B F_{1}}{C E_{1}} \\ &=\dfrac{\dfrac{1}{2} C D_{1} \cdot B F_{1} \sin B}{\dfrac{1}{2} B D_{1} \cdot C E_{1} \sin C} \\ &\left.=\dfrac{S_{\triangle C D_{1} F_{1}}}{S_{\triangle B D_{1} E_{1}}}=\dfrac{S_{\triangle P D_{1} F_{1}}}{S_{\triangle P D_{1} E_{1}}} . \text { (由 } C P // D_{1} F_{1} \text { 及 } B P // D_{1} E_{1}\right) \end{aligned}$

现仅需再注意在上(因与在同侧而与在同侧)即可由上式知在上.

所以欲证结论成立,证毕.

高中奥数 2021-08-20

你可能感兴趣的:(高中奥数 2021-08-20)