算法：动态规划——最长公共子序列

一、动态规划概念

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费指数时间。

然而，不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。为了达到这个目的，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填人表中。这就是动态规划法的基本思想。具体的动态规划算法是多种多样的，但它们具有相同的填表格式。

1. 动态规划步骤

(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征;
(2）递归地定义最优值;
(3）以自底向上的方式计算出最优值;
(4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

最长公共子序列问题

题目

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例

示例1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

分析

设两个序列为
X = { x1, x2, x3, …, xm - 1, xm} ，元素个数为m个。
Y = { y1, y2, y3, …, yn - 1, yn}，元素个数为n个。

设公共子序列为：
Z = { z1, z2, z3, …, zk - 1, zk }， 元素个数为k个。

情况分析：

1. 如果 xm == yn，则 zk = xm = yn，最后一个元素相等，那也就意味着我们可以把问题规模缩小，使得：

zk - 1 = xm - 1 && yn - 1

原规模的最长公共子序列长度就是 Z(k - 1) + 1

2. 如果 xm != yn， xm != zk；那么

zk = xm - 1 && yn

3. 如果yn != xm， yn != zk， 那么

zk = xm && yn - 1

令 c [m][n]为最长公共子序列，m为序列X的元素个数，n为Y序列的元素个数， 那么会得到以下情况：

1. 当m或n为0时，最长公共子序列为0。

c[m][n] = (m == 0 || n == 0) ? 0;

2. 当m > 1, n > 1， xm == yn时

c[m][n] = (xm == yn) ? c[m - 1][n - 1] + 1;

3. 当 m > 1, n > 1, xm != yn时

c[m][n] = (xm != yn) ? max(c[m - 1][n], c[m][n - 1]);

代码（递归）

int LCSLength(char* X, char* Y, int m, int n)
{
	if (m == 0 || n == 0) return 0;
	else
	{
		if (X[m] == Y[n])
			return LCSLength(X, Y, m - 1, n - 1) + 1;
		else
		{
			int max1 = LCSLength(X, Y, m - 1, n);
			int max2 = LCSLength(X, Y, m, n - 1);
			return max1 > max2 ? max1 : max2;
		}
	}
}

int main(void)
{
	char X[] = { "ABCBDAB" };
	char Y[] = { "BDCABA" };
	int xm = strlen(X), yn = strlen(Y);

	int maxlen = LCSLength(X, Y, xm, yn);
	cout << maxlen << endl;

	return 0;
}

运行结果：

查表

#include

template<typename T>
void Print_vec(vector<vector<T> >& c)
{
	int m = c.size();
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		int n = c[i].size();
		for (int j = 0; j < n; ++j)
		{
			cout << setw(3) << c[i][j];
		}
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
}

int LCSLength(char* X, char* Y, int m, int n, 
	vector<vector<int> >& c, vector<vector<int> >& s)
{
	if (m == 0 || n == 0) return 0;
	else if (c[m][n] != 0) return c[m][n];
	else
	{ 
		if (X[m] == Y[n])
		{
			c[m][n] = LCSLength(X, Y, m - 1, n - 1, c, s) + 1;
			s[m][n] = 1;
		}
		else
		{
			int max1 = LCSLength(X, Y, m - 1, n, c, s);
			int max2 = LCSLength(X, Y, m, n - 1, c, s);
			if (max1 > max2)
			{
				c[m][n] = max1;
				s[m][n] = 2;
			}
			else
			{
				c[m][n] = max2;
				s[m][n] = 3;
			}
		}
	}
	return c[m][n];
}

int main(void)
{
	char X[] = { "#ABCBDAB" };
	char Y[] = { "#BDCABA" };
	int xm = strlen(X) - 1, yn = strlen(Y) - 1;

	vector<vector<int> > c, s;
	c.resize(xm + 1);
	s.resize(xm + 1);
	for (int i = 0; i < xm + 1; ++i)
	{
		c[i].resize(yn + 1);
		s[i].resize(yn + 1);
	}

	int maxlen = LCSLength(X, Y, xm, yn, c, s);

	Print_vec(c);
	Print_vec(s);
	cout << maxlen << endl;

	return 0;
}

这样可得出最长公共子序列是哪些字符。

打印最长公共子序列

void LCS(char* X, vector<vector<int> >& s, int i, int j)
{
	if (i == 0 || j == 0) return;
	if (s[i][j] == 1)
	{
		LCS(X, s, i - 1, j - 1);
		cout << X[i];
	}
	else if (s[i][j] == 2)
	{
		LCS(X, s, i - 1, j);
	}
	else
	{
		LCS(X, s, i, j - 1);
	}
}

int main(void)
{
	char X[] = { "#ABCBDAB" };
	char Y[] = { "#BDCABA" };
	int xm = strlen(X) - 1, yn = strlen(Y) - 1;

	vector<vector<int> > c, s;
	c.resize(xm + 1);
	s.resize(xm + 1);
	for (int i = 0; i < xm + 1; ++i)
	{
		c[i].resize(yn + 1);
		s[i].resize(yn + 1);
	}

	int maxlen = LCSLength(X, Y, xm, yn, c, s);

	Print_vec(c);
	Print_vec(s);
	cout << maxlen << endl;

	LCS(X, s, xm, yn);
	return 0;
}

运行结果：