[蓝桥杯训练]———高精度乘法、除法

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数据结构与算法（内含蓝桥杯算法训练）
C++基础
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一、高精度乘法⭐

1.1 初步理解

1.1.1 高精度的定义

在计算机科学中，高精度算法通常指的是处理超过计算机原生数据类型表示范围的数字的能力。例如，如果要处理非常大或非常小的整数或小数，可能需要使用高精度算法，因为标准的整数和浮点数类型的表示范围是有限的。

通常存在两种
1.大整数高精度
2.浮点型高精度

1.1.2 为什么会有高精度

举个例子，如果需要运算一个按千亿级别的加减乘除运算，按照普通的运算方法是非常占用时间的，但是我们如果使用一个数组存储想要进行运算的数字，然后化解为三个数的运算，这样就会大大提高代码的效率。

1.1.3 高精度乘法的复杂度

会依次遍历存储大整数的数组，所以时间复杂度是O(n)，其中n是指存储大整数的数组长度。

1.2 思想讲解

首先是输入，我们正常来说都会选择倒着存储数字




此时所求的C就求出来了

1.3 代码实现

1.3.1 声明

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include 
#include 

using namespace std;

1.3.2 实现高精度乘法

vector<int> mul(vector<int>& A, int b)
{
	vector<int> C;
	int t = 0;
	for (int i = 0; i < A.size(); i++)
	{
		t += A[i] * b;
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	return C;
}

这里最不好理解的是t,这个t是重复使用的，但也是在不断更新的。

1.3.3 整体实现

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

vector<int> mul(vector<int>&A, int b)
{
	vector<int>C;
	int t = 0;
	for (int i = 0; i <= A.size() - 1; i++)
	{
		t = A[i] * b + t;
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	return C;
}

int main()
{
	string a;
	int b;
	cin >> a >> b;

	vector<int>A;

	for (int i = a.size()-1; i >=0; i--)
	{
		A.push_back(a[i]-'0');
	}

	vector<int>C = mul(A, b);

	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)cout << C[i];
	cout << endl;
	return 0;
}

1.3.4 代码测试

二、高精度除法⭐

2.1 初步理解

大致理解是和乘法是一样的，但是除法的实现会更加抽象。

2.2 思想讲解

得出的结果是上一位余数(r*10+A[i])/b。

2.3 代码实现

2.3.1 声明

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include 
#include 

using namespace std;

2.3.2 div部分

vector<int> div(vector<int>& A, int b,int &r)
{
	vector<int> C;
        r = 0;
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
	{
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b;
	}
	reverse(C.begin(), C.end());
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
	return C;
}

注意，原本的vector数组中只能对队尾元素插入删除实现O(1)的时间复杂度，所以我们把整个结果reverse一遍，这样判断数组尾部是否为0，如果是就删除。

2.3.3 整体部分

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include 
#include 

using namespace std;
//高精度除法

vector<int> div(vector<int>& A, int b,int &r)
{
	vector<int> C;
        r = 0;
	for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
	{
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b;
	}
	reverse(C.begin(), C.end());
	while (C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
	return C;
}

int main()
{
	string a;
	int b;

	cin >> a >> b;
	vector<int>A;
	for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)A.push_back(a[i] - '0');

	int r;
	auto C = div(A, b,r);

	for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--)printf("%d", C[i]);
	cout << endl << r << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

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