向量空间:若 V V V是 n n n维向量的非空集合,且对集合内向量的加法和数乘 运算封闭,即 运算结果仍属于集合,则称 V V V为向量空间 。
由于向量运算的需要,向量空间需要一个数集来支持,该数集对加、减、乘、除(除数不为零)封闭。
数域:对加、减、乘、除封闭的包含非零元素的数集 称为数域。有 有理数域Q,实数域R,复数域C。 任何数域都包含0、1。
向量空间 V V V 必伴随一个数域 P P P 。
线性空间定义:(2+8)
V V V是非空集合, P P P是一个数域。
加法封闭运算,数乘封闭运算。
满足以下八个条件:(交结零负,一结分分。–> 我结交富邻,别人见状也纷纷一同去结交。)
以上2+8满足,则称 V V V为 数域 P P P 上的线性空间。
线性空间中的若干向量经过数乘再求和,称为这些向量的线性组合。
设 x 1 , x 2 , . . . , x r x_{1},x_{2},...,x_{r} x1,x2,...,xr为 数域 P P P上的线性空间 V V V中的一组向量。若 P P P中 存在(不存在) 一组不全为的0 数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ r \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r} λ1,λ2,...,λr 满足:
λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . . . + λ r x r = 0 \lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}+...+\lambda_{r}x_{r} = 0 λ1x1+λ2x2+...+λrxr=0
则称向量组 x 1 , x 2 , . . . , x r x_{1},x_{2},...,x_{r} x1,x2,...,xr 线性相关(线性无关)。
向量组 x 1 , x 2 , . . . , x r x_{1},x_{2},...,x_{r} x1,x2,...,xr 为 V V V 的一组基, 对 V V V 的任一向量 y y y ,必存在 一组数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ r \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r} λ1,λ2,...,λr,使得
y = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . . . + λ n x n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( λ 1 λ 2 ⋮ λ n ) y=\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}+...+\lambda_{n}x_{n} = (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \begin{pmatrix} \lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \vdots\\ \lambda_{n} \end{pmatrix} y=λ1x1+λ2x2+...+λnxn=(x1,x2,...,xn) λ1λ2⋮λn
那么, ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ r ) T (\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r})^T (λ1,λ2,...,λr)T 为 y y y 在基 x 1 , x 2 , . . . , x r x_{1},x_{2},...,x_{r} x1,x2,...,xr 下的坐标。
线性空间可以有许多不同的基,同一向量在不同基下一般坐标不同。
(1)过度矩阵: 若 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn 和 y 1 , y 2 , . . . , y n y_{1},y_{2},...,y_{n} y1,y2,...,yn 是线性空间 V V V下两组不同的基。且可以写成
( y 1 , y 2 , . . . , y n ) = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) [ p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ P 2 n ⋮ ⋮ ⋮ p n 1 p n 2 ⋯ p n n ] (y_{1},y_{2},...,y_{n})= (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} &\cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} &\cdots & P_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} &\cdots & p_{nn} \end{bmatrix} (y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn) p11p21⋮pn1p12p22⋮pn2⋯⋯⋯p1nP2n⋮pnn
其中 P = ( p i j ) n × n P=(p_{ij})_{n\times n} P=(pij)n×n。 P P P为从基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn 到基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_{1},y_{2},...,y_{n} y1,y2,...,yn的过度矩阵。
(2)基变换公式: ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) (y_{1},y_{2},...,y_{n}) (y1,y2,...,yn) = = = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) P (x_{1},x_{2},...,x_{n}) P (x1,x2,...,xn)P 被称为基变换公式。
(3)坐标变换公式:
某向量 在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn下 坐标为 ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) T (\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n})^T (λ1,λ2,...,λn)T
在基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_{1},y_{2},...,y_{n} y1,y2,...,yn 下 坐标为 ( μ 1 , μ 2 , . . . , μ n ) T (\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n})^T (μ1,μ2,...,μn)T
有 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( λ 1 λ 2 ⋮ λ n ) = ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) ( μ 1 μ 2 ⋮ μ n ) = (代入基变换公式) ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) P ( μ 1 μ 2 ⋮ μ n ) (x_{1},x_{2},...,x_{n}) \begin{pmatrix} \lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \vdots\\ \lambda_{n} \end{pmatrix}=(y_{1},y_{2},...,y_{n}) \begin{pmatrix} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n} \end{pmatrix}= (代入基变换公式) (x_{1},x_{2},...,x_{n}) P \begin{pmatrix} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n} \end{pmatrix} (x1,x2,...,xn) λ1λ2⋮λn =(y1,y2,...,yn) μ1μ2⋮μn =(代入基变换公式)(x1,x2,...,xn)P μ1μ2⋮μn
可得: ( λ 1 λ 2 ⋮ λ n ) = P ( μ 1 μ 2 ⋮ μ n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \vdots\\ \lambda_{n} \end{pmatrix}= P \begin{pmatrix} \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n} \end{pmatrix} λ1λ2⋮λn =P μ1μ2⋮μn ,称为坐标变换公式。
V V V和 V ′ V' V′都是数域 P P P上的线性空间。它们的元素一一对应,即 x ↔ x ′ x \leftrightarrow x ' x↔x′。
若 x ↔ x ′ x\leftrightarrow x' x↔x′, y ↔ y ′ y\leftrightarrow y' y↔y′时 ,有 x + y ↔ x ′ + y ′ x+y \leftrightarrow x'+y' x+y↔x′+y′, k x ↔ k x ′ ( k ∈ P ) kx \leftrightarrow kx'(k\in P) kx↔kx′(k∈P),那么线性空间 V V V和 V ′ V' V′是同构的,且称它们的元素一一对应也是同构对应。
二元关系满足
(1)反身性: A A A ~ A A A;
(2)对称性: A A A ~ B B B ⇒ \Rightarrow ⇒ B B B ~ A A A
(3)传递性: A A A ~ B B B且 B B B ~ C C C ⇒ \Rightarrow ⇒ A A A ~ C C C
则称为 等价关系。例如:数的相等、三角形的相似、矩阵的相似等。
线性空间的同构关系是等价关系。
数域 P P P 上的 n n n 维线性空间 V V V 与向量空间 P n P^n Pn 同构。
数域 P P P 上的所有维数相同的有限维线性空间都是同构。
同构对应的元素性质:
(1)零元素对应零元素
(2)负元素对应负元素
(3)同构对应保持着线性相关性和线性无关性
(4)同构的有限维线性空间的维数相同
数域 P P P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是 它们有相同的维数。
V V V 是数域 P P P 上的线性空间, W W W 是 V V V 的一个子集,若 W W W 对 V V V 中的加法和乘法也构成 P P P 上的线性空间,则称 W W W 是 V V V 上的一个线性子空间。
(1)定理1:线性空间 V V V 的非空子集 W W W 为 V V V 的子空间的充要条件是: W W W 对 V V V 中的线性运算封闭。
(2)性质:若 W W W是 V V V的一个子空间,则 W W W的一组基是 V V V的一个线性无关向量组,其所含向量个数不会超过 V V V的维数,即有 d i m ( W ) ≤ d i m ( V ) dim(W)≤dim(V) dim(W)≤dim(V)。
(3)平凡子空间
V V V本身是 V V V的子空间。
只含 V V V 的零向量 0 0 0 的集合 {0} ,也是 V V V的子空间,称为零子空间,零子空间中没有基,其维数为零。
V V V 和 {0} 称为 V V V 的平凡子空间,其它子空间称为非平凡子空间。
(4)设 x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr为数域 P P P上线性空间 V V V的一组向量,它们的所有线性组合构成的集合{ λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . . . + λ r x r \lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}x_{2}+...+\lambda_{r}x_{r} λ1x1+λ2x2+...+λrxr | λ k ∈ P , k = 1 , 2 , … , r \lambda_{k}\in P,k=1,2,…,r λk∈P,k=1,2,…,r} 为 V V V的一个子空间,称为由 x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr生成的子空间,记为 S p a n Span Span { x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr} 。
x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr 的一个最大线性无关组可作为 S p a n Span Span { x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr} 的一组基, S p a n Span Span { x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr} 的维数为向量组 x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr 的秩。一个线性空间可视为由其任一组基所生成的线性空间。
(5)定理2:设 V 1 V_{1} V1, V 2 V_{2} V2为数域 P P P 上线性空间 V V V 的子空间,则 V 1 ∩ V 2 V_{1}\cap V_{2} V1∩V2 也是 V V V 的子空间。
(6)定理3:设 V 1 V_{1} V1, V 2 V_{2} V2为数域 P P P 上线性空间 V V V 的子空间,则 V 1 + V 2 = V_{1}+ V_{2}= V1+V2= { x 1 + x 2 ∣ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 x_{1}+x_{2}| x_{1}\in V_{1},x_{2}\in V_{2} x1+x2∣x1∈V1,x2∈V2} 也是 V V V 的子空间。
(7)定理4: S p a n Span Span { x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr} = = = S p a n Span Span { y 1 , y 2 , … , y s y_{1},y_{2},…,y_{s} y1,y2,…,ys} 的充要条件是向量组 x 1 , x 2 , … , x r x_{1},x_{2},…,x_{r} x1,x2,…,xr 和 y 1 , y 2 , … , y s y_{1},y_{2},…,y_{s} y1,y2,…,ys等价,即这两个向量组可相互线性表示。
维数公式: V 1 V_{1} V1、 V 2 V_{2} V2是线性空间 V V V 的子空间,则
d i m ( V 1 ) + d i m ( V 2 ) = d i m ( V 1 + V 2 ) + d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dim(V_{1})+dim(V_{2})=dim(V1+V2)+dim(V_{1} \cap V_{2}) dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
(1)定义(直和):设 V 1 V_{1} V1、 V 2 V_{2} V2是线性空间 V V V 的子空间,若 W = V 1 + V 2 W=V_{1}+V_{2} W=V1+V2中每个向量 x x x 的分解式
x = x 1 + x 2 ( x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 ) x=x_{1}+x_{2}(x_{1}∈V_{1},x_{2}∈V_{2}) x=x1+x2(x1∈V1,x2∈V2)
是唯一的,则 子空间 W = V 1 + V 2 W=V_{1}+V_{2} W=V1+V2 称为 V 1 与 V 2 V_{1}与V_{2} V1与V2 的直和,记为 W = V 1 ⊕ V 2 W = V_{1}\oplus V_{2} W=V1⊕V2 。
(2)定理6:两个子空间的和为直和的充要条件是,它们的交为零空间。
V 1 + V 2 = V 1 ⊕ V 2 ⇔ V 1 ∩ V 2 = { 0 } V_{1}+V_{2}= V_{1}\oplus V_{2} \Leftrightarrow V_{1}\cap V_{2} = \{0\} V1+V2=V1⊕V2⇔V1∩V2={0}
(3)定理7:两个子空间的和是直和的充要条件是,零向量的分解式唯一。
(4)定理8:两个子空间的和是直和的充要条件是,它们的和的维数等于维数的和。
V 1 + V 2 = V 1 ⊕ V 2 ⇔ d i m ( V 1 + V 2 ) = d i m ( V 1 ) + d i m ( V 2 ) V_{1}+V_{2} = V_{1}\oplus V_{2} \Leftrightarrow dim(V_{1}+V_{2}) = dim(V_{1})+dim(V_{2}) V1+V2=V1⊕V2⇔dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)
(5)定理9:两个子空间的和是直和的充要条件是, V 1 、 V 2 V_{1}、V_{2} V1、V2的基合在一起是 V 1 + V 2 V_{1}+V_{2} V1+V2的基。
(1)设 V V V 和 W W W 为两个非空集合,如果存在一个法则 T T T,使得对于 V V V 中任一元素 α \alpha α ,按照此法则,都有 W W W 中唯一的元素 β \beta β 与之对应,则称 T T T为从 V V V到 W W W的映射 ,并记 β = T α \beta=T\alpha β=Tα。
(2)设 V V V、 W W W是数域 Р Р Р上的线性空间, T T T是从 V V V到 W W W的映射,如果对任何 α , β ∈ V , λ ∈ P \alpha , \beta \in V,\lambda \in P α,β∈V,λ∈P , T T T都满足:
(1)线性空间到自身的映射称为该线性空间上的变换,线性空间到自身的线性映射称为该线性空间上的线性变换。
(2)
(3)性质:
(1)线性变换相等(T相等)
设 T 1 , T 2 T_{1},T_{2} T1,T2 为线性空间 V V V 的线性变换,若对 V V V中任何元素 x x x,都有 T 1 x = T 2 x T_{1}x=T_{2}x T1x=T2x,则称 T 1 T_{1} T1 与 T 2 T_{2} T2 相等,记作 T 1 = T 2 T_{1}=T_{2} T1=T2。
显然,两个线性变换相等的充要条件是,它们对一组基的每个基向量的变换结果相等。
(2)线性变换的和
设 T 1 , T 2 T_{1} , T_{2} T1,T2 为数域 P P P 上线性空间 V V V 的线性变换,定义 T 1 + T 2 T_{1}+T_{2} T1+T2为 V V V上的变换:
( T 1 + T 2 ) x = T 1 x + T 2 x , ∀ x ∈ V (T_{1}+T_{2})x = T_{1}x + T_{2}x , \forall x \in V (T1+T2)x=T1x+T2x,∀x∈V
则 T 1 + T 2 T_{1}+T_{2} T1+T2 是线性变换。
(3)线性变换的数乘
设 T T T 为数域 P P P 上线性空间 V V V 的线性变换, k k k 为 P P P 中的数,定义 k k k 与 T T T 的数乘 k T kT kT 为 V V V 上的变换:
( k T ) x = k T x , ∀ x ∈ V (kT)x=kTx , \ \forall x \in V (kT)x=kTx, ∀x∈V
则 k T kT kT是线性变换。
(4)线性变换的乘积
T 1 , T 2 T_{1} , T_{2} T1,T2 为数域 P P P 上线性空间 V V V 的线性变换,定义 T 1 T 2 T_{1}T_{2} T1T2为 V V V上的变换:
( T 1 T 2 ) x = T 1 ( T 2 x ) , ∀ x ∈ V (T_{1}T_{2})x = T_{1}(T_{2}x) , \forall x \in V (T1T2)x=T1(T2x),∀x∈V
则 T 1 T 2 T_{1}T_{2} T1T2是线性变换。
一般来说, T 1 T 2 ≠ T 2 T 1 T_{1}T_{2}\neq T_{2}T_{1} T1T2=T2T1
(5)逆变换
对于变换 T T T,如果有变换 S S S,使得 T S TS TS 和 S T ST ST 为恒等变换:
T S = S T TS=ST TS=ST
则称 T T T为可逆变换,且 S S S为 T T T的逆变换,记为 S = T − 1 S=T^{-1} S=T−1。
线性变换 T T T 的逆变换 T − 1 T^{-1} T−1 也是线性变换。
设 T T T 为 n n n 维线性空间 V V V 的一个线性变换, T T T 的象所构成的集合 T ( V ) = T(V)= T(V)= { T x ∣ x ∈ V Tx|x \in V Tx∣x∈V}为 V V V 的子空间,称为 T T T 的值域或象空间。
V V V 中被 T T T 变换为零向量的元素构成的集合 K e r ( T ) = Ker(T)= Ker(T)= { x ∣ T x = 0 , x ∈ V x|Tx=0,x\in V x∣Tx=0,x∈V} 也是 V V V 的子空间,称为 T T T 的核或零空间。
d i m [ T ( V ) ] + d i m [ K e r ( V ) ] = d i m ( V ) dim[T(V)]+dim[Ker(V)]=dim(V) dim[T(V)]+dim[Ker(V)]=dim(V)
设 T T T 是线性空间 V V V 的线性变换, W W W 为 V V V 的子空间,如果 W W W 的元素经 T T T 变换后仍在 W W W 中,即 T ( W ) ⊂ W T(W )\subset W T(W)⊂W,则称 W W W 为 T T T 的不变子空间,记为 T − 子空间 T-子空间 T−子空间。
设 T T T 为数域 P P P 上 n n n 维线性空间 V V V 中的一个线性变换, e 1 , e 2 , … , e n e_{1},e_{2},…,e_{n} e1,e2,…,en 为 V V V 的一组基,对 V V V 中任一向量 x x x,设 x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + … + ξ n e n x= \xi_{1}e_{1}+\xi_{2}e_{2}+…+\xi_{n}e_{n} x=ξ1e1+ξ2e2+…+ξnen ,则 T x = ξ 1 T e 1 + ξ 2 T e 2 + … + ξ n T e n Tx= \xi_{1}Te_{1}+\xi_{2}Te_{2}+…+\xi_{n}Te_{n} Tx=ξ1Te1+ξ2Te2+…+ξnTen 。 所以,一个向量在线性变换下的象,是基向量的象的线性组合,而且此线性组合的系数即为该向量在这组基下的坐标。这就是说,只要确定了基向量的象,就确定了一个线性变换。
T ( e 1 , e 2 , … , e n ) = ( e 1 , e 2 , … , e n ) A T(e_{1},e_{2},…,e_{n})=(e_{1},e_{2},…,e_{n})A T(e1,e2,…,en)=(e1,e2,…,en)A
矩阵 A A A 称为线性变换 T T T 在基 e 1 , e 2 , … , e n e_{1},e_{2},…,e_{n} e1,e2,…,en 下的矩阵。
在基给定的条件下,向量经过线性变换后的坐标,等于用线性变换在这组基下的矩阵去左乘此向量的坐标。
T x = T [ ( e 1 . e 2 , . . . , e n ) ξ ] = ( e 1 . e 2 , . . . , e n ) A ξ Tx=T[(e_{1}.e_{2},...,e_{n})\xi ]=(e_{1}.e_{2},...,e_{n})A\xi Tx=T[(e1.e2,...,en)ξ]=(e1.e2,...,en)Aξ
T x Tx Tx的坐标为 A ξ A\xi Aξ 。
设线性变换 T T T 在不同的两组基下的矩阵分别为 A A A, B B B,则 A A A与 B B B相似 。有
T ( e 1 , e 2 , … , e n ) = ( e 1 , e 2 , … , e n ) A T ( u 1 , u 2 , … , u n ) = ( u 1 , u 2 , … , u n ) B ( u 1 , u 2 , … , u n ) = ( e 1 , e 2 , … , e n ) Q T(e_{1},e_{2},…,e_{n})=(e_{1},e_{2},…,e_{n})A \\ T(u_{1},u_{2},…,u_{n})=(u_{1},u_{2},…,u_{n})B \\ (u_{1},u_{2},…,u_{n}) = (e_{1},e_{2},…,e_{n})Q T(e1,e2,…,en)=(e1,e2,…,en)AT(u1,u2,…,un)=(u1,u2,…,un)B(u1,u2,…,un)=(e1,e2,…,en)Q
则: B = Q − 1 A Q B=Q^{-1}AQ B=Q−1AQ
在数域 P P P 上的线性空间 V V V 中定义一个二元函数 ( x , y ) (x,y) (x,y),若此函数对任意 x , y , z ∈ V x,y,z\in V x,y,z∈V , λ , μ ∈ P \lambda , \mu \in P λ,μ∈P 都满足
则称 ( x , y ) (x,y) (x,y) 为 x x x 与 y y y 的内积。
称定义了内积的线性空间为内积空间。
数域 P P P 为实数域 R R R 时,内积空间为实内积空间,也叫欧几里得空间,简称欧氏空间。
数域 P P P 为复数域 C C C 时,内积空间为复内积空间,也叫酉空间。
常见的内积空间 P n , P m × n , C [ a , b ] P^n, P^{m \times n}, C[a, b] Pn,Pm×n,C[a,b] :
称 ∣ ∣ x ∣ ∣ = ( x , x ) ||x||=\sqrt{(x,x)} ∣∣x∣∣=(x,x) 为向量 x x x 的范数或长度,并称范数为 1 的向量叫做单位向量。
对内积空间 V V V中任意两个元素 x , y x,y x,y ,都有 ∣ ( x , y ) ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ |(x,y)| \leq ||x|| \; ||y|| ∣(x,y)∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣
等号成立的充要条件是 \; x , y x,y x,y 线性相关。
如果向量 x , y x,y x,y 的内积为 0,则称 x , y x,y x,y 正交,记为 x ⊥ y x\perp y x⊥y 。
(1)正交向量组:
内积空间中两两正交的非零向量组,称为正交向量组。单位向量构成的正交向量组为标准正交向量组。
(2)正交基:由正交向量组构成的基为正交基,标准正交向量组构成的为标准正交基。
(3)酉矩阵:
复方阵 A A A若满足 A H A = A A H = E A^H A=A A^H =E AHA=AAH=E,式中 A H A^H AH 表示 A A A 的共轭转置,称 A A A 为酉矩阵。
线性无关向量组 α ⃗ 1 \vec\alpha _{1} α1 , α ⃗ 2 \vec\alpha _{2} α2 , α ⃗ 3 \vec\alpha _{3} α3 …,
第一步 :标准正交化:
β ⃗ 1 = α ⃗ 1 , β ⃗ 2 = α ⃗ 2 − ( α ⃗ 2 , β ⃗ 1 ) ( β ⃗ 1 , β ⃗ 1 ) β ⃗ 1 , β ⃗ 3 = α ⃗ 3 − ( α ⃗ 3 , β ⃗ 1 ) ( β ⃗ 1 , β ⃗ 1 ) β ⃗ 1 − ( α ⃗ 3 , β ⃗ 2 ) ( β ⃗ 2 , β ⃗ 2 ) β ⃗ 2 ⋮ β ⃗ s = α ⃗ s − ( α ⃗ s , β ⃗ 1 ) ( β ⃗ 1 , β ⃗ 1 ) β ⃗ 1 − ( α ⃗ s , β ⃗ 2 ) ( β ⃗ 2 , β ⃗ 2 ) β ⃗ 2 − . . . − ( α ⃗ s , β ⃗ s − 1 ) ( β ⃗ s − 1 , β ⃗ s − 1 ) β ⃗ s − 1 \vec\beta_{1} = \vec\alpha _{1} , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \vec\beta_{2} = \vec\alpha_{2}-\frac{(\vec\alpha_{2},\vec\beta_{1})}{(\vec\beta_{1},\vec\beta_{1})}\vec\beta_{1} ,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \\ \vec\beta_{3} = \vec\alpha_{3}-\frac{(\vec\alpha_{3},\vec\beta_{1})}{(\vec\beta_{1},\vec\beta_{1})}\vec\beta_{1} - \frac{(\vec\alpha_{3},\vec\beta_{2})}{(\vec\beta_{2},\vec\beta_{2})}\vec\beta_{2} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \\ \vec\beta_{s} = \vec\alpha_{s}-\frac{(\vec\alpha_{s},\vec\beta_{1})}{(\vec\beta_{1},\vec\beta_{1})}\vec\beta_{1} - \frac{(\vec\alpha_{s},\vec\beta_{2})}{(\vec\beta_{2},\vec\beta_{2})}\vec\beta_{2} - ... - \frac{(\vec\alpha_{s},\vec\beta_{s-1})}{(\vec\beta_{s-1},\vec\beta_{s-1})}\vec\beta_{s-1} β1=α1,β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1, β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2⋮ βs=αs−(β1,β1)(αs,β1)β1−(β2,β2)(αs,β2)β2−...−(βs−1,βs−1)(αs,βs−1)βs−1
, 即为正交向量组。
第二步:再单位化:
η ⃗ 1 = β ⃗ 1 ∥ β ⃗ 1 ∥ η ⃗ 2 = β ⃗ 2 ∥ β ⃗ 2 ∥ η ⃗ 3 = β ⃗ 3 ∥ β ⃗ 3 ∥ ⋮ η ⃗ s = β ⃗ s ∥ β ⃗ s ∥ \vec\eta_{1} = \frac{\vec\beta_{1}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{1} \end{Vmatrix}}\\ \vec\eta_{2} = \frac{\vec\beta_{2}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{2} \end{Vmatrix}}\\ \vec\eta_{3} = \frac{\vec\beta_{3}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{3} \end{Vmatrix}}\\ \vdots \\ \vec\eta_{s} = \frac{\vec\beta_{s}}{\begin{Vmatrix} \vec\beta_{s} \end{Vmatrix}} η1= β1 β1η2= β2 β2η3= β3 β3⋮ηs= βs βs
(分母可以写成 ( β ⃗ i , β ⃗ i ) \sqrt{(\vec\beta_i , \vec\beta_i)} (βi,βi) ), η i \eta_i ηi 即为标准正交向量组。
设 V V V 是内积空间 V V V 的子空间,向量 x x x 与 V V V 中每个向量正交,则称 x x x 与 V V V 正交,记为 x ⊥ V x\perp V x⊥V。
设 V 1 , V 2 V_{1} , V_{2} V1,V2 是内积空间 V V V的子空间, V 1 V_{1} V1 中每个向量都与 V 2 V_{2} V2 正交 (因此 V 2 V_{2} V2 中每个向量也都与 V 1 V_{1} V1 正交) ,则称 V 1 V_{1} V1与 V 2 V_{2} V2正交,记为 V 1 ⊥ V 2 V_{1}\perp V_{2} V1⊥V2。
设 V 1 V_{1} V1 是内积空间 V V V 的子空间, V V V 中所有与 V 1 V_{1} V1 正交的向量组成的集合称为 V 1 V_{1} V1 的正交补空间,记为 V 1 ⊥ V_{1}^{\perp} V1⊥,即 V 1 ⊥ = { α ∣ ( α , β ) = 0 , α ∈ V , β ∈ V 1 } V_{1}^{\perp} = \{ \alpha | (\alpha,\beta)=0,\alpha \in V ,\beta \in V_{1}\} V1⊥={α∣(α,β)=0,α∈V,β∈V1}
欧氏空间 V V V 的元素 x x x 到 V V V 的子空间 W W W 的距离 d ( x , W ) d(x,W) d(x,W):
d ( x , W ) = m i n d(x,W)=min d(x,W)=min { d ( x , y ) = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ ∣ y ∈ W d(x,y)=||x-y|| \;\; |y \in W d(x,y)=∣∣x−y∣∣∣y∈W}
y y y 为子空间 W W W 中到 x x x 的距离最近的元素,当且仅当 x − y x-y x−y 与 W W W 正交。
求近似解 就是求 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn,使 ∣ ∣ b − ( x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n ) ∣ ∣ ||b-(x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n})|| ∣∣b−(x1a1+x2a2+...+xnan)∣∣最小。就是在 S p a n Span Span{ a 1 , a 2 , . . . , a_{1},a_{2},..., a1,a2,...,} 中找一个距离 b b b 最近的元素。称满足此条件的 x 1 , x 2 , . . . , x n x_{1},x_{2},...,x_{n} x1,x2,...,xn 为方程组的最小二乘解。
欧式空间 V V V中的线性变换 T T T为正交变换的充要条件是, T T T保持 V V V中向量长度不变: ∣ ∣ T x ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ , ∀ x ∈ V ||Tx||=||x|| , \forall x \in V ∣∣Tx∣∣=∣∣x∣∣,∀x∈V
酉空间 V V V中的线性变换 T T T为酉变换的充要条件是, T T T保持 V V V中向量长度不变: ∣ ∣ T x ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ , ∀ x ∈ V ||Tx||=||x|| , \forall x \in V ∣∣Tx∣∣=∣∣x∣∣,∀x∈V
欧式空间 V V V中的线性变换 T T T为正交变换的充要条件是, T T T把 V V V中的标准正交基变为标准正交基。
酉空间 V V V中的线性变换 T T T为酉变换的充要条件是, T T T把 V V V中的标准正交基变为标准正交基。
欧式空间 V V V中的线性变换 T T T为正交变换的充要条件是, T T T在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。
酉空间 V V V中的线性变换 T T T为酉变换的充要条件是, T T T在标准正交基下的矩阵为酉矩阵。