acwing算法基础之数学知识--容斥原理

1 基础知识

题目描述：给定整数n和m个不同的质数，p1,p2,…pm，求1~n中能被这m个质数中至少一个质数整除的数有多少个。其中n和$p_i$在$10^9$以内，而m在16以内。

容斥原理：
有两个集合$A$和$B$，求总和$|A\cup B|$，答案为
$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$
有三个集合$A$、$B$和$C$，求总和$|A\cup B\cup C|$，答案为
$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$$

进一步抽象，
某个类有$n$中不同的属性，记为$P_i$（其中$i=1,2\cdots n$），拥有属性$P_i$的对象构成集合$S_i$，那么对象总和为，
$$|{\cup }_{i=1}^n{S}_i|=\sum _i|S_i|-\sum _{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum _{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots +(-1{)}^{n-1}|S_1\cap S_2\cdots \cap S_n|$$
上式即为容斥原理。

解题思路：用容斥原理进行求解，且利用二进制表示中的1表示第i个质数选不选，以此计算出每一项。
C++代码如下，

#include 

using namespace std;

const int N = 20;
int n, m;
int p[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) cin >> p[i];
    
    int res = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << m; ++i) {
        int t = 1;
        int cnt = 0;
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            if (i >> j & 1) {
                cnt += 1;
                if ((long long)t * p[j] > n) {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t = (long long)t * p[j];
            }
        }
        if (t != -1) {
            if (cnt % 2 == 1) {
                res += n / t;
            } else {
                res -= n / t;
            }
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

2 模板

暂无。。。

3 工程化

暂无。。。