【深度学习笔记】02 线性代数基础

线性代数基础

    • 线性代数基础
      • 标量
      • 向量
      • 长度、维度和形状
      • 矩阵
      • 张量算法的基本性质
      • 降维
      • 非降维求和
      • 点积(Dot Product)
      • 矩阵-向量积
      • 矩阵-矩阵乘法
      • 范数

线性代数基础

标量

标量由只有一个元素的张量表示

import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x ** y
(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))

向量

向量可以视为标量值组成的列表,这些标量值被称为响亮的元素(element)或分量(component)。
通过一维张量表示向量。一般来说,张量可以具有任意长度,取决于机器的内存限制。

x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])

可以使用下标来引用向量的任一元素,例如可以通过 x i x_i xi来引用第 i i i个元素

x[3]
tensor(3)

长度、维度和形状

向量的长度通常称为向量的维度(dimension)
可以通过调用Python的len()函数来访问张量的长度

len(x)
4

矩阵

矩阵在代码中表示为具有两个轴的张量

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

可以通过行索引( i i i)和列索引( j j j)来访问矩阵中的标量元素 a i j a_{ij} aij,例如 [ A ] i j [\mathbf{A}]_{ij} [A]ij

当我们交换矩阵的行和列时,结果称为矩阵的转置(transpose)。
通常用 a ⊤ \mathbf{a}^\top a来表示矩阵的转置,如果 B = A ⊤ \mathbf{B}=\mathbf{A}^\top B=A
则对于任意 i i i j j j,都有 b i j = a j i b_{ij}=a_{ji} bij=aji

A.T
tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])

[对称矩阵(symmetric matrix) A \mathbf{A} A等于其转置: A = A ⊤ \mathbf{A} = \mathbf{A}^\top A=A]。

B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])
B == B.T
tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

张量算法的基本性质

给定具有相同形状的任意两个张量,任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。

例如,将两个相同形状的矩阵相加,会在这两个矩阵上执行元素加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存,将A的一个副本分配给B
A, A + B
(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积(Hadamard product)(数学符号 ⊙ \odot

A * B
tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状,其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]),
 torch.Size([2, 3, 4]))

降维

默认情况下,调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度,使它变成一个标量。

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
A.shape, A.sum()
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

可以指定张量沿着哪一个轴来通过求和降低维度。

例如,为了通过求和所有行的元素来降维(轴0),可以在调用函数时指定axis=0

由于输入矩阵沿轴0降维以生成输出向量,因此输入轴0的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维(轴1)。

因此,输入轴1的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

沿着行和列对矩阵求和,等价于对矩阵的所有元素进行求和。

A.sum(axis = [0, 1])  # 结果和A.sum()相同
tensor(190.)

一个与求和相关的量是平均值(mean或average)。

我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。

在代码中,我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。

计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

A.mean(), A.sum() / A.numel()
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

非降维求和

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])

由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴,我们可以通过广播将A除以sum_A。

A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和,
如axis=0(按行计算),可以调用cumsum函数。
此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

点积(Dot Product)

矩阵相同位置按元素乘积的和

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

可以通过执行按元素乘法,然后进行求和来表示两个向量的点积:

torch.sum(x * y)
tensor(6.)

矩阵-向量积

在代码中使用张量表示矩阵-向量积时,使用mv函数。当为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时,会执行矩阵-向量积。

注意,A的列维数(沿轴1的长度)必须与x的维数(其长度)相同。

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

矩阵-矩阵乘法

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法,不应与"Hadamard积"混淆。

范数

在线性代数中,向量范数是将向量映射到标量的函数 f f f
给定任意向量 x \mathbf{x} x,向量范数要满足一些属性。

第一个性质是:如果我们按常数因子 α \alpha α缩放向量的所有元素,
其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放:

f ( α x ) = ∣ α ∣ f ( x ) . f(\alpha \mathbf{x}) = |\alpha| f(\mathbf{x}). f(αx)=αf(x).

第二个性质是三角不等式:

f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) . f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}). f(x+y)f(x)+f(y).

第三个性质是范数必须是非负的:

f ( x ) ≥ 0. f(\mathbf{x}) \geq 0. f(x)0.

最后一个性质要求范数最小为0,当且仅当向量全由0组成。

∀ i , [ x ] i = 0 ⇔ f ( x ) = 0. \forall i, [\mathbf{x}]_i = 0 \Leftrightarrow f(\mathbf{x})=0. i,[x]i=0f(x)=0.

欧几里得距离是一个 L 2 L_2 L2范数:
假设 n n n维向量 x \mathbf{x} x中的元素是 x 1 , … , x n x_1,\ldots,x_n x1,,xn,其 L 2 L_2 L2范数是向量元素平方和的平方根:

∥ x ∥ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 , \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}, x2=i=1nxi2 ,

其中,在 L 2 L_2 L2范数中常常省略下标 2 2 2,也就是说 ∥ x ∥ \|\mathbf{x}\| x等同于 ∥ x ∥ 2 \|\mathbf{x}\|_2 x2
在代码中,我们可以按如下方式计算向量的 L 2 L_2 L2范数。

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
tensor(5.)

L 1 L_1 L1范数表示为向量元素的绝对值之和:

∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ . \|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|. x1=i=1nxi.

L 2 L_2 L2范数相比, L 1 L_1 L1范数受异常值的影响较小。

为了计算 L 1 L_1 L1范数,我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。

torch.abs(u).sum()
tensor(7.)

L 2 L_2 L2范数和 L 1 L_1 L1范数都是更一般的 L p L_p Lp范数的特例:

∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p . \|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}. xp=(i=1nxip)1/p.

类似于向量的 L 2 L_2 L2范数,矩阵 X ∈ R m × n \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n} XRm×nFrobenius范数(Frobenius norm)是矩阵元素平方和的平方根:

( ∥ X ∥ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n x i j 2 . \|\mathbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}. XF=i=1mj=1nxij2 .)

Frobenius范数满足向量范数的所有性质,它就像是矩阵形向量的 L 2 L_2 L2范数。
调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。

torch.norm(torch.ones((4, 9)))
tensor(6.)

你可能感兴趣的:(深度学习笔记,深度学习,笔记,线性代数)