【深度学习笔记】02 线性代数基础

线性代数基础

标量

标量由只有一个元素的张量表示

import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x ** y

(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))

向量

向量可以视为标量值组成的列表，这些标量值被称为响亮的元素（element）或分量（component）。
通过一维张量表示向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。

x = torch.arange(4)
x

tensor([0, 1, 2, 3])

可以使用下标来引用向量的任一元素，例如可以通过$x_i$来引用第$i$个元素

x[3]

tensor(3)

长度、维度和形状

向量的长度通常称为向量的维度（dimension）
可以通过调用Python的len()函数来访问张量的长度

len(x)

4

矩阵

矩阵在代码中表示为具有两个轴的张量

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

可以通过行索引（$i$）和列索引（$j$）来访问矩阵中的标量元素$a_{ij}$，例如$[\mathbf{A}{]}_{ij}$。

当我们交换矩阵的行和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。
通常用${\mathbf{a}}^{\top }$来表示矩阵的转置，如果$\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\top }$，
则对于任意$i$和$j$，都有$b_{ij}=a_{ji}$。

A.T

tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
        [ 1,  5,  9, 13, 17],
        [ 2,  6, 10, 14, 18],
        [ 3,  7, 11, 15, 19]])

[对称矩阵（symmetric matrix）$\mathbf{A}$等于其转置：$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\top }$]。

B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B

tensor([[1, 2, 3],
        [2, 0, 4],
        [3, 4, 5]])

B == B.T

tensor([[True, True, True],
        [True, True, True],
        [True, True, True]])

张量算法的基本性质

给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。

例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B

(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
         [ 8.,  9., 10., 11.],
         [12., 13., 14., 15.],
         [16., 17., 18., 19.]]),
 tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
         [ 8., 10., 12., 14.],
         [16., 18., 20., 22.],
         [24., 26., 28., 30.],
         [32., 34., 36., 38.]]))

两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号$\odot$）

A * B

tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
        [ 64.,  81., 100., 121.],
        [144., 169., 196., 225.],
        [256., 289., 324., 361.]])

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape

(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
          [ 6,  7,  8,  9],
          [10, 11, 12, 13]],
 
         [[14, 15, 16, 17],
          [18, 19, 20, 21],
          [22, 23, 24, 25]]]),
 torch.Size([2, 3, 4]))

降维

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变成一个标量。

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

A.shape, A.sum()

(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

可以指定张量沿着哪一个轴来通过求和降低维度。

例如，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），可以在调用函数时指定axis=0

由于输入矩阵沿轴0降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。

因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。

A.sum(axis = [0, 1])  # 结果和A.sum()相同

tensor(190.)

一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。

我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。

在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。

计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

A.mean(), A.sum() / A.numel()

(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]

(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.]))

非降维求和

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A

tensor([[ 6.],
        [22.],
        [38.],
        [54.],
        [70.]])

由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。

A / sum_A

tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和，
如axis=0（按行计算），可以调用cumsum函数。
此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

A.cumsum(axis=0)

tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.],
        [40., 45., 50., 55.]])

点积（Dot Product）

矩阵相同位置按元素乘积的和

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积：

torch.sum(x * y)

tensor(6.)

矩阵-向量积

在代码中使用张量表示矩阵-向量积时，使用mv函数。当为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。

注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

矩阵-矩阵乘法

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法，不应与"Hadamard积"混淆。

范数

在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数$f$。
给定任意向量$\mathbf{x}$，向量范数要满足一些属性。

第一个性质是：如果我们按常数因子$\alpha$缩放向量的所有元素，
其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：

$$f(\alpha \mathbf{x})=|\alpha |f(\mathbf{x}).$$

第二个性质是三角不等式:

$$f(\mathbf{x}+\mathbf{y})\le f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y}).$$

第三个性质是范数必须是非负的:

$$f(\mathbf{x})\ge 0.$$

最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。

$$\forall i,[\mathbf{x}{]}_i=0\iff f(\mathbf{x})=0.$$

欧几里得距离是一个$L_2$范数：
假设$n$维向量$\mathbf{x}$中的元素是$x_1,\dots ,x_n$，其$L_2$范数是向量元素平方和的平方根：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2},$$

其中，在$L_2$范数中常常省略下标$2$，也就是说$\Vert \mathbf{x}\Vert$等同于$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2$。
在代码中，我们可以按如下方式计算向量的$L_2$范数。

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)

tensor(5.)

$L_1$范数表示为向量元素的绝对值之和：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n\left|x_i\right|.$$

与$L_2$范数相比，$L_1$范数受异常值的影响较小。

为了计算$L_1$范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。

torch.abs(u).sum()

tensor(7.)

$L_2$范数和$L_1$范数都是更一般的$L_p$范数的特例：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p\right)}^{1/p}.$$

类似于向量的$L_2$范数，矩阵$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：

($$\Vert \mathbf{X}{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{x}_{ij}^2}.$$)

Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的$L_2$范数。
调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

tensor(6.)