DL Homework 8

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习题5-2 证明宽卷积具有交换性， 即公式(5.13)．

习题5-4 对于一个输入为100 × 100 × 256的特征映射组， 使用3 × 3的卷积核， 输出为100 × 100 × 256的特征映射组的卷积层， 求其时间和空间复杂度． 如果引入一个1 × 1卷积核， 先得到100 × 100 × 64的特征映射， 再进行3 × 3的卷积， 得到100 × 100 × 256的特征映射组， 求其时间和空间复杂度．

习题5-5 对于一个二维卷积， 输入为3 × 3， 卷积核大小为2 × 2， 试将卷积操作重写为仿射变换的形式． 参见公式(5.45) .

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习题5-7 忽略激活函数，分析卷积网络中卷积层的前向计算和反向传播是一种转置关系

习题5-8 在空洞卷积中， 当卷积核大小为， 膨胀率为时， 如何设置零填充的值以使得卷积为等宽卷积 .

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习题5-2 证明宽卷积具有交换性， 即公式(5.13)．

        给定图像和卷积核对图像X进行零填充，两端各补  和  个零，得到全填充图像

         图像X和卷积核W的宽卷积定义为

        图像X和卷积核W有固定长度时，它们的宽卷积具有交换性:

rot180()表示旋转180度

        交换性证明:

 

同时推导一下，我们发现:

 

 所以我们从证明变成证明即可

 由此可见，交换性成立！照片感觉在这里展示不太好看，但是毕竟弄了大半天的东西。把照片源文件放进来可以自行下载观看

习题5-4 对于一个输入为100 × 100 × 256的特征映射组， 使用3 × 3的卷积核， 输出为100 × 100 × 256的特征映射组的卷积层， 求其时间和空间复杂度． 如果引入一个1 × 1卷积核， 先得到100 × 100 × 64的特征映射， 再进行3 × 3的卷积， 得到100 × 100 × 256的特征映射组， 求其时间和空间复杂度．

时间复杂度:因为映射后的图像的每一个像素都是经过卷积计算而来的，由这个想法开始，我们首先计算最后输出的图像像素点个数为个，并且卷积核大小为，卷积核组是由256个卷积核构成的，所以每个像素点需要经过次乘法运算（这里时间复杂度同代码，所以不考虑加法的效率)所以最好一共需要的时间效率为

空间复杂度为，因为这里考虑的都为代码过程的时间空间复杂度.

同理可以很容易求得另一组的答案如下:

时间复杂度:

空间复杂度:

习题5-5 对于一个二维卷积， 输入为3 × 3， 卷积核大小为2 × 2， 试将卷积操作重写为仿射变换的形式． 参见公式(5.45) .

关于这个问题之前的博客就提到过一些，但哪个时候就比较随性（不是好的习惯）了解的还不够透彻，经过老师上课的讲解对展开放射变化了解更为深刻了，首先引用鱼书中这一部分的讲解

        鱼书很明确的指出了，将滤波器展开为1列，那矩阵到底怎么展开呢，通过题目就可以很容易的明确了。

        经过卷积操作仿射变化后，X,W变为如下:

Y = X * W

        这是鱼书中的例子，但是事实上还存在另一种放射变化，老师讲的不同于鱼书，将X拉成一列如下：

Y = W * X

        

        两种仿射变化都是对的只是变现的形式不同罢了~

习题5-7 忽略激活函数，分析卷积网络中卷积层的前向计算和反向传播是一种转置关系

        以一个3×3的卷积核为例，输入为X输出为Y

        将4×4的输入特征展开为16×1的矩阵，y展开为4×1的矩阵，将卷积计算转化为矩阵相乘

因为:;并且即

所以:

对比正向： ,所以两者是一种转置关系。

习题5-8 在空洞卷积中， 当卷积核大小为， 膨胀率为时， 如何设置零填充的值以使得卷积为等宽卷积 .

首先对于普通的卷积操作，输出特征图的大小由以下公式给出：

而在空洞卷积中，由于引入了膨胀率，上述公式需要做相应调整。空洞卷积的输出特征图大小的计算公式如下：

现在我们来解决问题，假设我们希望进行等宽卷积，即输入特征图的大小与输出特征图的大小相同。因此，我们可以令输出特征图的大小等于输入特征图的大小：

将这个等式代入空洞卷积的输出特征图大小计算公式中，可以得到：

接下来，我们可以解出零填充P的值：

        PS:这两周大作业有点多，选修课还都结课，反向传播算法的手推，不太想随便糊弄一个，抄一抄没啥效果，所以手推的过程放在下周赶时间做一个，单独会再发个博客~