斐波那契数列的两种实现方式 C++实现

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前言

斐波那契数列（Fibonacci数列）是数学家斐波那契以研究兔子繁殖为例研究的数列，故称“兔子数列”，又称为黄金分割数列。

对于斐波那契额数列的求解，常用的有两种方式：循环与递归，本文将分别对两种方式进行思路分析与代码实现。

一、循环方式

1.思路分析

观察图中的斐波那契额数列，从第三项开始，每一项都是前两项之和，循环往复，找到了循环的规律，我们不难将此数列进行划分，每两项为一组，分别定义为 f1、f2，则其下一组的 f1(新) = f1(旧) + f2(旧)，f2(新) = f1(新) + f2(旧)，也就是说，我们求解某一项，只需求解出它所在的那一组的 f1 与 f2，根据 n 的奇偶性输出 f1 或 f2 即可。

考虑到需要用户进行输入，专门增加了输入的纠错功能，保证程序正常运行。

2.代码实现

代码如下（示例）：

/* Alkaid#3529 */

#include 
using namespace std;

/* 输出斐波那契额数列的前n项  循环方式 */
int fibonacci_circulate(int n);

int main()
{
	int n;

	cout << "请输入fibonacci数列的项数:\n";

	for (;;)
	{
		cin >> n;

		if (cin.fail())
		{
			cin.clear();
			cin.ignore(1024, '\n');
			cout << "输入错误";
		}
		else
			break;
	}

	cout << "\n通过循环可得:\n";
	cout << "fibonacci数列第" << n << "项为:" << fibonacci_circulate(n) << endl;

	return 0;
}

int fibonacci_circulate(int n)
{
	long long f1 = 1, f2 = 1;

	int time = (n + 1) / 2;

	for (int i = 1; i < time; i++)
	{
		f1 = f1 + f2;
		f2 = f2 + f1;
	}

	if (n % 2 == 0)
		return f2;
	else
		return f1;
}

运行代码后，我们可以快速得到想要求解的对应值：

如果需要详细查看每一项的值，只需在循环过程中同步输出 f1 与 f2 即可。

二、递归方式

1.思路分析

递归是常见的思路之一，究其本质，其实就是把一个大型复杂问题层层转化为一个与原问题结构相同，但是规模更小的问题，问题被拆解成子问题后，递归调用继续进行，直到子问题无需进一步递归就可以解决的地步为止。

我们观察此问题，不难发现，每一项的求解可以转化为对其前两项的求解，层层嵌套，因此，我们只需设定 n=1 和 n=2 时的 fibonacci 数列的值即可。

2.代码实现

代码如下（示例）：

/* Alkaid#3529 */

#include 
using namespace std;

/* 输出斐波那契额数列的前n项  递归方式 */
int fibonacci_recursion(int n);

int main()
{
	int n;

	cout << "请输入fibonacci数列的项数:\n";

	for (;;)
	{
		cin >> n;

		if (cin.fail())
		{
			cin.clear();
			cin.ignore(1024, '\n');
			cout << "输入错误";
		}
		else
			break;
	}

	cout << "\n通过递归可得:\n";
	cout << "fibonacci数列第" << n << "项为:" << fibonacci_recursion(n) << endl;

	return 0;
}

int fibonacci_recursion(int n)
{
	if (n == 1)
		return 1;
	if (n == 2)
		return 1;
	else
		return fibonacci_recursion(n - 1) + fibonacci_recursion(n - 2);
}

运行代码后，我们可以快速得到想要求解的对应值：

得到的结果与循环方式并无二致。

三、两种方式对比

循环是最为简单直接的求解方式，复杂度并不高，因此所需时间也大幅少于递归方式，这一点在项数较少的时候体现的并不明显，一旦项数增加至40左右，两者的时间差肉眼可见。

我们可以对代码稍做加工，让其体现得更为直观。

代码如下（示例）：

/* Alkaid#3529 */

#include 
#include
using namespace std;

/* 输出斐波那契额数列的前n项  循环方式 */
int fibonacci_circulate(int n);

/* 输出斐波那契额数列的前n项  递归方式 */
int fibonacci_recursion(int n);

int main()
{
	int n;

	cout << "请输入fibonacci数列的项数:\n";

	for (;;)
	{
		cin >> n;

		if (cin.fail())
		{
			cin.clear();
			cin.ignore(1024, '\n');
			cout << "输入错误";
		}
		else
			break;
	}


	DWORD start_time_circulate = GetTickCount64();
	{
		cout << "\n通过循环可得:\n";
		cout << "fibonacci数列第" << n << "项为:" << fibonacci_circulate(n) << endl;
	}
	DWORD end_time_circulate = GetTickCount64();
	cout << "The run time is: " << (end_time_circulate - start_time_circulate) << " ms!" << endl;


	DWORD start_time_recursion = GetTickCount64();
	{
		cout << "\n通过递归可得:\n";
		cout << "fibonacci数列第" << n << "项为:" << fibonacci_recursion(n) << endl;
	}
	DWORD end_time_recursion = GetTickCount64();
	cout << "The run time is: " << (end_time_recursion - start_time_recursion) << " ms!" << endl;

	return 0;
}

int fibonacci_circulate(int n)
{
	long long f1 = 1, f2 = 1;

	int time = (n + 1) / 2;

	for (int i = 1; i < time; i++)
	{
		f1 = f1 + f2;
		f2 = f2 + f1;
	}

	if (n % 2 == 0)
		return f2;
	else
		return f1;
}

int fibonacci_recursion(int n)
{
	if (n == 1)
		return 1;
	if (n == 2)
		return 1;
	else
		return fibonacci_recursion(n - 1) + fibonacci_recursion(n - 2);
}

运行代码，我们可以明显观察到，当 n 的值较小时，两种方式差距不大：

但是当 n 的值增加到50时，两者的差距就变得不可忽略了：

因此，在大多数情况下，递归只是一种思路，循环更为常用。至于递归为何会比循环耗时更多，关注我的频道，为你详细解答！

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总结

斐波那契额数列不仅是循环与递归的经典习题，也是数据结构与算法的内容之一，熟练掌握 fibonacci 的解题思路对我们往后的学习十分有益，后续我也会推出数据结构与算法的相关内容，希望对大家的学习有所帮助。

最后我是Alkaid#3529，期待你的关注！