物理层之奈氏准则和香农定理

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一、码元和带宽

1、什么是码元

码元是指用一个固定时长的信号波形（数字脉冲)，代表不同离散数值的基本波形，是数字通信中数字信号的计量单位，这个时长内的信号称为k进制码元，而该时长称为码元宽度。当码元的离散状态有M个时(M大于2)，此时码元为M进制码元。

1码元可以携带多个比特的信息量。例如，在使用二进制编码时，只有两种不同的码元，一种代表0状态，另一种代表1状态。

2、数字通信系统数据传输速率的两种表示方法

速率也叫数据率，是指数据的传输速率，表示单位时间内传输的数据量。可以用码元传输速率和信息传输速率表示。

2.1、码元传输速率

1）码元传输速率:别名码元速率、波形速率、调制速率、符号速率等，它表示单位时间内数字通信系统所传输的码元个数（也可称为脉冲个数或信号变化的次数)，单位是波特（Baud)。1波特表示数字通信系统每秒传输一个码元。

码元传输速率：1s传输多少个码元。

数字信号有多进制和二进制之分，但码元速率与进制数无关，只与码元长度T有关。

2.2、信息传输速率

2）信息传输速率:别名信息速率、比特率等，表示单位时间内数字通信系统传输的二进制码元个数（即比特数)，单位是比特/秒(b/s） 。

信息传输速率：1s传输多少个比特。

关系:若一个码元携带n bit的信息量，则M Baud的码元传输速率所对应的信息传输速率为M×n bit/so

3、例题

3.1、例题1

某一数字通信系统传输的是四进制码元,4s传输了8000个码元,求系统的码元传输速率是多少?信息传输速率是多少?若另一通信系统传输的是十六进制码元,6s传输了7200个码元,求他的码元传输速率是多少?信息传输速率是多少?并指出哪个系统传输速率快?

答案：2000Baud，4000b/s; 1200Baud，4800b/s;十六进制更快
题解：
四进制码元系统
码元传输速率就是8000/4=2000Baud，信息传输速率就是2000*log_2 4=4000b/s【其中log_2是log以2为底的对数】

六进制码元系统
码元传输速率就是7200/6=1200Baud，信息传输速率就是1200*log_216=4800bit/s

系统传输的是比特流，通常比较的是信息传输速率，所以传输十六进制码元的通信系统传输速率较快。

3.2、例题2

已知八进制数字信号的传输速率为1600B。试问变换成二进制数字信号时的传输速率是多少?
4800b/s

已知二进制数字信号的传输速率为2400b/s。试问变换成四进制数字信号时，传输速率为多少波特?

1200B

4、带宽

1.模拟信号系统中：当输入的信号频率高或低到一定程度，使得系统的输出功率成为输入功率的一半时(即-3dB)，最高频率和最低频率间的差值就代表了系统的通频带宽，其单位为赫兹(Hz)。

⒉数字设备中：表示在单位时间内从网络中的某一点到另一点所能通过的“最高数据率”/单位时间内通过链路的数量，常用来表示网络的通信线路所能传输数据的能力。单位是比特每秒(bps)。

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二、奈氏准则（奈奎斯特定理）

1、奈氏准则简介

奈氏准则:在理想低通（无噪声，带宽受限）条件下，为了避免码间串扰，极限码元传输速率为2W Baud，W是信道带宽，单位是Hz。

理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog_2V（b/s）

其中：

• W是：带宽（Hz）
• V是：几种码元/码元的离散电平数目

1.在任何信道中，码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过此上限，就会出现严重的码间串扰问题，使接收端对码元的完全正确识别成为不可能。

⒉信道的频带越宽（即能通过的信号高频分量越多)，就可以用更高的速率进行码元的有效传输。

3.奈氏准则给出了码元传输速率的限制，但并没有对信息传输速率给出限制。

4.由于码元的传输速率受奈氏准则的制约，所以要提高数据的传输速率，就必须设法使每个码元能携带更多个比特的信息量，这就需要采用多元制的调制方法。

2、例题：

例.在无噪声的情况下，若某通信链路的带宽为3kHz，采用4个相位，每个相位具有4种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输率是多少 ?

• 信号有4x 4=16种变化
• 最大数据传输率=2 x 3k x4=24kb/s（2Wlog_2V）

三、香农定理

1、香农定理简介

噪声存在于所有的电子设备和通信信道中。由于噪声随机产生，它的瞬时值有时会很大，因此噪声会使接收端对码元的判决产生错误。但是噪声的影响是相对的，若信号较强，那么噪声影响相对较小。因此，信噪比就很重要。信噪比=信号的平均功率/噪声的平均功率，常记为S/N，并用分贝(dB）作为度量单位，即:

信噪比（dB）=10log_10(S/N) 数值等价

香农定理:在带宽受限且有噪声的信道中，为了不产生误差，信息的数据传输速率有上限值。

信道的极限数据传输速率=Wlog_2(1+S/N)(b/s)

其中：

• W是：带宽（Hz）
• S/N是：信噪比（S是信道所传信号的平均功率，N是信道内的高斯噪声功率）

1.信道的带宽或信道中的信噪比越大，则信息的极限传输速率就越高。

2.对一定的传输带宽和一定的信噪比，信息传输速率的上限就确定了。

3.只要信息的传输速率低于信道的极限传输速率，就一定能找到某种方法来实现无差错的传输。

4.香农定理得出的为极限信息传输速率，实际信道能达到的传输速率要比它低不少。

5.从香农定理可以看出，若信道带宽w或信噪比s/N没有上限〈不可能），那么信道的极限信息传输速率也就没有上限。

2、例题

例.电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则该系统最大数据传输速率是多少?

解答：
30dB=10log_10(S/N)
则S/N=1000
信道的极限数据传输速率=wlog_2(1+S/N)=3000 x log_2(1+1000)~=30kb/s

四、奈氏准则和香农定理相比

1、奈氏准则

带宽受限无噪声条件下，为了避免码间串扰，码元传输速率的上限2W Baud。
理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog_2V
要想提高数据率，就要提高带宽/采用更好的编码技术。

2、香农定理

带宽受限有噪声条件下的信息传输速率。
信道的极限数据传输速率=Wlog_2(1+S/N)
要想提高数据率，就要提高带宽/信噪比。

3、注意

如果题目中没有给噪声条件，那么香农定理肯定不能用，只能用奈氏准则。
但是如果题目中给了噪声条件，又给了V（一个码元对应多少比特的信息），那么就需要分别用奈氏准则和香农定理计算出极限传输速率，比较大小，取最小的值。

例题：
二进制信号在信噪比为127∶1的4kHz信道上传输，最大的数据速率可达到多少?

奈氏准则：2×4000×log_22=8000b/s
香农定理：4000×log_2(1+127)=28000b/s
所以选择奈氏准则的8000b/s

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总结

以上就是物理层之奈氏准则和香农定理的相关知识点，希望对你有所帮助。
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