每日一练c++题目日刊 | 第九期：Dijkstra 算法求最短路径

第一题：Dijkstra 算法求最短路径

题目描述

给定一个有向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 为节点集合，$E$ 为边集合。每条边 $(u,v)$ 有一个权值 $w(u,v)$，表示从节点 $u$ 到节点 $v$ 的边权。请你编写一个程序，计算出从节点 $s$ 到节点 $t$ 的最短路径。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示节点数、边数和起始节点。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示一条边 $(u,v)$ 的起点、终点和边权。

最后一行包含一个整数 $t$，表示终点。

输出格式

如果存在从节点 $s$ 到节点 $t$ 的路径，则输出最短路径的长度。否则输出 $-1$。

约定：路径的长度为路径上所有边的权值之和。

输入样例

5 8 0
0 1 1
0 2 12
1 2 9
1 3 3
2 3 5
2 4 5
3 2 4
3 4 13
4

输出样例

8

解题思路&C++题解

此题可以使用 Dijkstra 算法来解决，Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因此此题的时间复杂度为 $O(n^2)$。

Dijkstra 算法流程如下：

1. 初始化距离数组dis，将距离数组的所有元素赋值为无穷大，将起点的距离赋值为0。

2. 初始化一个未访问集合 $vis$，表示所有节点是否已经被访问过。

3. 将起点加入未访问集合 $vis$。

4. 对于起点的每一个邻居节点 $v$，更新距离数组 $dis$：$dis[v]=\min (dis[v],dis[u]+w(u,v))$。

5. 从未访问集合 $vis$ 中选择一个距离最小的节点 $u$，将其加入已访问集合中。

6. 对于节点 $u$ 的每一个邻居节点 $v$，更新距离数组 $dis$：$$dis[v]=\min (dis[v],dis[u]+w(u,v))$$

7. 重复步骤 5 和 6 直到未访问集合为空。

时间复杂度：$O(n^2)$

空间复杂度：$O(n^2)$

下面是 c++ 代码实现：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, s;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int dis[N];  // dis[i] 表示从起点到 i 的最短路径长度
bool vis[N]; // vis[i] 表示节点 i 是否已经被访问过

// Dijkstra 算法
void dijkstra()
{
    // 初始化距离数组和未访问集合
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(vis, false, sizeof vis);
    dis[s] = 0;

    // 循环直到未访问集合为空
    while (true)
    {
        // 从未访问集合中选择一个距离最小的节点 u
        int u = -1, min_dis = INF;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (!vis[i] && dis[i] < min_dis)
            {
                u = i;
                min_dis = dis[i];
            }

        // 如果未访问集合为空，则退出循环
        if (u == -1)
            break;

        // 将节点 u 加入已访问集合
        vis[u] = true;

        // 更新节点 u 的所有邻居节点的距离
        for (int v = 0; v < n; v++)
            if (g[u][v] != INF)
                dis[v] = min(dis[v], dis[u] + g[u][v]);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> s;

    // 初始化邻接矩阵
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    while (m--)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u][v] = w;
    }

    int t;
    cin >> t;

    // 调用 Dijkstra 算法
    dijkstra();

    // 输出从起点到终点的最短路径长度
	if (dis[t] != INF)
		cout << dis[t] << endl;
	else
		cout << -1 << endl;
	
	return 0;
}