给定一个有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),其中 V V V 为节点集合, E E E 为边集合。每条边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 有一个权值 w ( u , v ) w(u,v) w(u,v),表示从节点 u u u 到节点 v v v 的边权。请你编写一个程序,计算出从节点 s s s 到节点 t t t 的最短路径。
第一行包含三个整数 n , m , s n,m,s n,m,s,分别表示节点数、边数和起始节点。
接下来 m m m 行,每行包含三个整数 u , v , w u,v,w u,v,w,表示一条边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 的起点、终点和边权。
最后一行包含一个整数 t t t,表示终点。
如果存在从节点 s s s 到节点 t t t 的路径,则输出最短路径的长度。否则输出 − 1 -1 −1。
约定:路径的长度为路径上所有边的权值之和。
5 8 0
0 1 1
0 2 12
1 2 9
1 3 3
2 3 5
2 4 5
3 2 4
3 4 13
4
8
此题可以使用 Dijkstra 算法来解决,Dijkstra 算法的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),因此此题的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
Dijkstra 算法流程如下:
初始化距离数组dis,将距离数组的所有元素赋值为无穷大,将起点的距离赋值为0。
初始化一个未访问集合 v i s vis vis,表示所有节点是否已经被访问过。
将起点加入未访问集合 v i s vis vis。
对于起点的每一个邻居节点 v v v,更新距离数组 d i s dis dis: d i s [ v ] = min ( d i s [ v ] , d i s [ u ] + w ( u , v ) ) dis[v]=\min(dis[v],dis[u]+w(u,v)) dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w(u,v))。
从未访问集合 v i s vis vis 中选择一个距离最小的节点 u u u,将其加入已访问集合中。
对于节点 u u u 的每一个邻居节点 v v v,更新距离数组 d i s dis dis: d i s [ v ] = min ( d i s [ v ] , d i s [ u ] + w ( u , v ) ) dis[v]=\min(dis[v],dis[u]+w(u,v)) dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w(u,v))
重复步骤 5 和 6 直到未访问集合为空。
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
空间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
下面是 c++ 代码实现:
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, s;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int dis[N]; // dis[i] 表示从起点到 i 的最短路径长度
bool vis[N]; // vis[i] 表示节点 i 是否已经被访问过
// Dijkstra 算法
void dijkstra()
{
// 初始化距离数组和未访问集合
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(vis, false, sizeof vis);
dis[s] = 0;
// 循环直到未访问集合为空
while (true)
{
// 从未访问集合中选择一个距离最小的节点 u
int u = -1, min_dis = INF;
for (int i = 0; i < n; i++)
if (!vis[i] && dis[i] < min_dis)
{
u = i;
min_dis = dis[i];
}
// 如果未访问集合为空,则退出循环
if (u == -1)
break;
// 将节点 u 加入已访问集合
vis[u] = true;
// 更新节点 u 的所有邻居节点的距离
for (int v = 0; v < n; v++)
if (g[u][v] != INF)
dis[v] = min(dis[v], dis[u] + g[u][v]);
}
}
int main()
{
cin >> n >> m >> s;
// 初始化邻接矩阵
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while (m--)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
g[u][v] = w;
}
int t;
cin >> t;
// 调用 Dijkstra 算法
dijkstra();
// 输出从起点到终点的最短路径长度
if (dis[t] != INF)
cout << dis[t] << endl;
else
cout << -1 << endl;
return 0;
}