单调栈、单调队列——挖呀挖呀挖呀挖

        凑个热闹，这几天给学生讲单调栈和单调队列，所以也在挖呀挖。在说为啥挖呀挖之前，先说说这俩是干嘛的：

单调栈：求i位置右侧第一个比arr[i]大或小的值。有趣的是当求右侧第一个i大的值时同时会求出左侧第一个比它大的，小于同样。所以，只需要关心右边就可以了。实际上不仅是大或小，可以求出的是满足条件的第一个。

单调队列：求随动窗口的最大最小值。意思就是说有一个窗口[L,R]，随着i++向右移动的时候，这个窗口里面的极值。实际用途多是用来优化DP，使得内循环被去掉。

        然后，细嗦一下单调栈，单调队列你也就理解了。

1、从何而来？

        例题：给定一个数组，对于每一个i求下一个比当前值更大的值（下标或大小都行）。

        思路：遍历一遍，每个位置都向后查找更大的。这需要两重循环，并且很明显内循环会无法利用之前的信息——它是从i位置向后查找的。

        思维：我们朝着把这个朴素算法优化成接近O(n)的方向思考，很容易知道内循环向右是无法利用之前i扫过去的信息的；所以，我们需要换一个思路，思考一下从0到n-1填表有没有必要？很明显是不必要的，问题可以变成在我们的记录表中（空间换时间很普遍吧，要不过去的信息往哪记呢！）记录下最近一个没填的下标x,当arr[i]更大，那我们就可以把ans[x]填上了。

2、细节思考：

        当有若干个没填的怎么办？当然是都记录下来。

        我们要的是最近一个，那么集合特性是什么？LIFO

        当i=n-1时，栈是否可能有剩余，如何处理？不用处理，初始化时ans[]={0}即可。

3、挖呀挖呀挖呀挖：

        当arr[i]大于栈顶，就更新栈顶元素k对应的ans[k]，直到栈为空或arr[i]

        思考：栈中的元素从栈顶到栈底具备什么特征？相邻元素中靠近栈底的是前一个更大的。

好了，回顾一下，单调栈的单调性是因为我们需要一个结构记录前面最近一个更小的（后面一个更大的），所以表现出单调，并且从栈顶到栈底的单调性和我们所求方向一致。再更清楚的描述一下我要传递的信息是：单调栈的单调性是因为你的需求、操作而产生的，而不是你要求维护它的什么性质，是你玩单调栈而不是单调栈玩你，好吧？

4、单调队列：

        还是经典例题，滑动窗口的最大值，就是给N个数，求[L,R]下标之间的最大值。

        首先给出结论吧，单调队列的单调性是对队首的竞争而引起的：因为我们要让可能有用的最大值合理保存下来：当arr[i]比队尾的值更大，它就挖呀挖呀挖呀挖。

        思考一下，我们要维护一个定长窗口，所以队列里最多有窗口长度个值，随着i++，队首会过期（即小于当前的L），而窗口内（即队列内）如果存着7、4、1，现在来了个一个6，那么这个6有效期一定比之前的都长，即从现在开始有4、1出场的机会一定要有6出场的机会，而6更大导致4、1没机会出场，被挖呀挖了。

        当6挖到7的时候，它没有能力撼动7的地位，所以只能在后面等着7过期咯。每次挖呀挖呀挖呀挖之后，剔除队首过期值，此时队首即为当前窗口最大值。

        由于我们这种挖呀挖的操作，导致了这个双端队列呈单调性。并且，很遗憾的，它没有什么更特殊的性质，具体结论也不用说了。

        所以，从挖呀挖，不是，这个太上头了这个。所以，数据结构就是菜市场的菜，就是家里的电饭煲煤气灶电烤箱（PQ限制了我的认知，不知道更多了）。当你学会分析问题，那么解决问题时数据结构会自己跳出来让你选的；然后，挖呀挖呀挖呀挖会帮你想起来单调栈是从上往下挖，单调队列是从后往前挖。OK？