《数据结构与算法》——图的最小生成树之普利姆算法（Prime）总结

《数据结构与算法》——图的最小生成树之普利姆算法（Prime）总结

在考研中，图的应用所包含的一个重要部分被称为最小生成树，其中教材中给出了两个算法，Prime算法和kruskal算法。这是两个思想完全不同的算法，下面即为关于这两个算法中的Prime算法的总结。

本来以为这部分模拟起来很容易，算法实现起来比较麻烦，所以估计不会考大题，最多就是考一个模拟过程。但是！！！去年的考题中就出现了这个算法的题目，说来惭愧，我一直以为那道题考的是Dijkstra算法。我抱着押它不考大题的心态去见我导师，导师说这个算法很简单的，你怎么会不会？然后听完老师的讲解，豁然开朗，突然感觉对其进行算法实现也不是问题了。

目录

《数据结构与算法》——图的最小生成树之普利姆算法（Prime）总结

 

定义

伪代码实现

性能分析及应用

性能分析

应用

参考文献

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定义

什么是Prime算法？它的核心思想是什么？

 

在此，我要引入一个小故事，一个在Dijkstra算法中引用过的小例子。

在一片广袤无垠的大海上，一艘名为泰坦尼克号的游轮在航行，而你恰巧就在这船上，很不幸船突然撞倒了冰山上，所有的人都在逃生。幸运的是，你现在跳到了一艘救生艇上，现在救生艇下面漂着100个人，你和这100个人之间或多或少的都有些联系，救生艇能将你们所有人救出来，但救生艇每次只能上一个人，在忽略人员性别等问题，单纯从和你相关关系的角度出发的情况下，请问怎么救人？

在题目中“你”是一个只看私人感情的人，毋庸置疑，得先救出和自己关系最好的人小A，然后救生艇上就变成了你们两个再管理了，下一个救谁？通过商量决定救起下一个和俩人关系相对较好的人，即从｛自己与水中人的关系，小A与水中人的关系｝中进行比较选出最好关系对，于是你们救起了小B，此时变成了你们三个人一起管理救生艇，类似的从｛自己与水中人的关系，小A与水中人的关系，小B与水中人的关系｝中进行比较选出最好的关系对，并由其救起小C，以此类推，直至将所有落水者救出为止。（注：本例子只用作辅助理解，并无其他意思。）

在救人的过程中，我们需要两个名单作为记录，一个用于记录各个落水者与“你（们）”的关系程度，一个用于记录救起各个落水者的人员。

 

        即核心思想为：存在两个集合一个空集U和一个满集A，首先从A中取出一个元素作为起始点添加入U中，从A中寻找和集合U中所有点最近的一个点添加入集合U中，记录导致该点加入U的关系边，直至将A中所有的点添加入U中，最终得到的所有的关系边所构成的树型结构即为最小生成树。

 

用算法的语言来描述如下：

arcs[][]：记录各个顶点到其它顶点的直接长度。（包括“你”在内的各个落水者的直接关系）

path[]：记录源点到各个节点的最短路径的前驱节点（救起各个落水者的人员），初始值为arcs[v0][i]（和“你”的关系）。

lowcost[]：记录源点到各个节点的最短路径长度。（关系）

 

假设从v0出发，初始化：U=｛v0｝，lowcost [i]=arcs[v0][i]，path[i] = v0，i为集合v剩余节点，v=v-s（在集合v中去掉初始点）

while(v集合不为空)｛

从集合v中选出一个顶点vj，它满足Min{ lowcost [vi]其中,vi属于v}，此点即为此时到集合U的一条最短路径的终点U = U +{vj}  v=v-{vj}

修改lowcost[vj] = Min{ lowcost [vj],arcs[vi][ vj]},若lowcost发生变化，则path[vj] = vi

｝

输出所有的所构成的树形结构即为所求。

 

伪代码实现

/*****************************
Description: 图的最小生成树之普利姆算法（Prime）
******************************/
#define MAX_VERTEX_NUM 100 
void MiniTree_Prime(Graph G,VertexType u){
	//使用Prime算法进行最小生成树的构造
	//参数为一个图形结构，和一个结点u
	//用lowcost[]的值来区分属于哪个集合，最终状态应该为全0 
	int path[MAX_VERTEX_NUM];
	int lowcost[MAX_VERTEX_NUM];
	int k =LocateNode(G,u); //获取u点的下标 
	for(int i = 0;iG.arcs[k][j].adj){
				path[j] = k;
				lowcost[j] = G.arcs[k][j].adj;
			}//if
	}//for
} //MiniTree_Prime

性能分析及应用

性能分析

空间复杂度：

借用了两个长为|v|的数组用来保存最小代价和路径前驱点，故空间复杂度为o(|V|)。

 

时间复杂度：

通过算法思想我们不难发现，我们需要移动n个点而每次移动完一个点后都需要更改一次lowcost的值，所以需要n*n的时间规模，所以时间复杂度为o(|V|^2)，emmmmmm，和边多少没有丁点儿关系，所以我们可以用来解决边很多很多的图（稠密图）。

应用

情绪到位了，咱啥也不管了，也不藏着掖着了，本来想以普通学渣的身份和题目相处，可换来的却是疏远，行了我不装了，我摊牌了，下面这道题是某校某年的真题！

 

题目大意：当前农村公路建设正如火如荼的展开，某乡镇政府决定实现村村通公路，工程师现有各个村落之间的原始道路统计数据表，表中列出了各村之间可以建设公路的若干条道路的成本，你的任务是根据给出的数据表，求使得每个村都有公路连通所需要的最低成本。

 

分析：对题目进行抽象化处理v个村（点），各个村之间的所有公路（边），成本（权值），最低成本即为最小加权路径长度，即求最小生成树。

解：

算法思想：通过使用prime算法求出最小生成树。

变量说明：path[]存储当前最小生成树中与其连接的上一个点

lowcost[]存储当前建造工路即加入生成树时的最小代价

图型结构G用来存储各个村落之间的关系，G.arcs[i][j]存储第i个村到第j个村的公路代价

#define MAX_VERTEX_NUM 100 
void MiniTree_Prime(Graph G,VertexType u){
	k = locateAdj(G,u);//定位u点在图中的编号
	int lowcost[MAX_VERTEX_NUM]; 
	int path[MAX_VERTEX_NUM];
	for(int i = 0; iG.arcs[k][j].adj){
				lowcost[j] = G.arcs[k][j].adj; 
				path[j] = k;
			}
	}
}//MiniTree_Prime

参考文献

严蔚敏，吴伟民. 数据结构（C语言版）[M]. 北京： 清华大学出版社，2013.

 

如有错误，还请朋友不吝指正。