C语言二分查找详解 二分算法入门与进阶

1  二分查找概念

二分查找也称折半查找，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。我们可以从定义可知，运用二分搜索的前提是数组必须是有序的，这里需要注意的是，我们的输入不一定是数组，也可以是数组中某一区间的起始位置和终止位置。

二分查找可以优化代码的时间复杂度，在面试过程中比较常见，更能锻炼逻辑思维能力。在追求代码极致性能时，二分查找比普通遍历时间复杂度要小。

2 基础二分例题

2.1  简单的二分查找，从数组nums中查找指定的target，若查到返回其索引，查不到返回-1。

int FindIndexOfTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] == target){
            return mid;
        }
        if (nums[mid] < target){ // target在右半区间或者不存在
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] > target){ // target在左半区间或者不存在
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

以上代码有3个注意点

（1）计算 mid 时 ，不能使用 （left + right ）/ 2，否则有可能会导致溢出；

（2）while (left < = right) { } 注意括号内为 left <= right ,而不是 left < right ，如果我们设置条件为 left < right 则当我们执行到最后一步时，则我们的 left 和 right 重叠时，则会跳出循环，返回 -1，区间内不存在该元素，但 left 和 right 此时指向的可能就是目标元素 ；

（3）left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。否则可能会进入死循环。

2.2 给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。假设数组中无重复元素。

思路：如果在数组中找到目标值，返回mid即可，十分容易理解；

           如果在数组中找达不到目标值，那么最后一次循环left==right，如果nums[left]==nums[right]==nums[mid]right跳出循环，可以发现此时left就是应该插入的位置；如果nums[left]==nums[right]==nums[mid]>target，那么执行right=mid-1（其实就是right--），由于left>right跳出循环，此时的left也是target应该插入的位置。

int FindIndexOfTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] == target){
            return mid;
        }
        if (nums[mid] < target){ // target在右半区间或者不存在
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] > target){ // target在左半区间或者不存在
            right = mid - 1;
        }
    }
    return left;
}

2.3 在排序数组中查找元素的第一个索引位置，例如数组为[1,2,2,2,2,3,6,55]，查找2的首个索引。（假设数组存在target）

思路：如果nums[mid]==target时，不再返回mid，而在左半区间继续查找，即right=mid-1，这样有希望找到target的首个索引位置。那么问题来了，即使定位到了首个索引，由于下一步是right=mid-1，right索引对应的数据小于target（此时right+1才是首个索引）。[left,right]区间内的值均小于target，于是在最新的[left,right]区间不断向右查找，最终left=right=mid，此时nums[left]==nums[mid]==num[right]right，跳出循环，返回left即为结果。

int FindFirstIndexOfTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] < target){ // 在左半区间查找
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] >= target){ // 在右半区间查找
            right = mid - 1;
        }
    }
    return left;
}

问题来了，如果数组内不存在target，以上代码怎么修改呢？其实也很简单，不能再直接返回left，要判断一下nums[left]是否等于target，如果不等于就返回-1。

还有种极端情况，数组内不但不存在target，target还要大于数组内所有元素，所以循环跳出后left还在向右移位，最后left==numsSize，left已经超出了数组索引最大值（numsSize-1），结合这两点就知道什么情况下返回left了。

int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] < target){ // 在左半区间查找
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] >= target){ // 在右半区间查找
            right = mid - 1;
        }
    }
    if(left < numsSize && nums[left] == target)
    {
        return left;
    }
    return -1;

2.4 在排序数组中查找元素的最后一个索引位置，例如数组为[1,2,2,2,2,3,6,55]，查找2的末位索引。（假设数组存在target）

思路：和前面分析类似，如果nums[mid]==target时，不再返回mid，而在右半区间查找，即left=mid+1，这样有希望找到target的末位索引，当mid定位到target的最后一个索引时，由于执行left=mid+1,导致[left,right]区间内的值均大于target，此时target末位索引是left-1。于是不断向左区间查询，直至left==right也没有查到，因为此时nums[left]==nums[right]==nums[mid]>target，便执行right=mid-1，此时right就是target的末位索引了，由于left>right也跳出了循环。

int FindLastIndexOfTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] <= target){ // 在右半区间查找
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] > target){ // 在左半区间查找
            right = mid - 1;
        }
    }
    return right;
}

2.5 找出第一个大于目标元素的索引

思路：显然应该分为两种情况，一种情况是nums[mid]<=target，肯定要left=mid+1，向右区间查询；

          另一种情况是nums[mid]>target，这种相对复杂，要不要返回mid？？但此时mid可能不是首个大于target的索引。如果mid==left（区间内的首位），或者nums[mid-1]<=target，此时mid必然是首个大于target的索引了，返回mid即可，否则就可以继续向左查询了，执行right=mid-1即可。

int FindFirstIndexOfBigTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] <= target){ // 在右半区间查找
            left = mid + 1;
        }
        if (nums[mid] > target){ 
            if(mid == left || nums[mid - 1] <= target){
                return mid;
            }else{
                right = mid - 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

2.6 找出最后一个小于目标元素的索引

思路：与前面类似，分两种情况，一种情况是nums[mid]>=target，肯定要在左区间继续搜寻，即right=mid-1

另外一种情况是nums[mid]=target时，mid就是区间内最后一个小于目标元素的索引，返回mid即可。否则由于mid不是最后一个，向右区间继续搜寻即可，即left=mid+1。

int FindLastIndexOfSmallTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] >= target){ // 右区间均>=target，不符合条件
            right = mid - 1;
        }
        if (nums[mid] < target){ // 此时的mid可能是答案，但可能继续在右半区间
            if(mid == right || nums[mid + 1] >= target){
                return mid;
            }else{
                left = mid + 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

3 二分进阶例题

3.1 一个从小到大的有序数组经过旋转，变成不完全有序数组nums，查找target的索引。（例如[7,8,9,2,3,6]）。假设数组内不含有重复元素。

思路：一次遍历很简单，但其复杂度高于二分算法，二分算法往往是解题精髓。nums数组被mid索引一分为二，其中一半肯定有序，另外一半肯定无序。有序部分再一分为二，两部分都有序；无序部分再一分为二，一部分肯定有序，一部分肯定无序...........规律便出来了

• 采用二分法实现，旋转排序数组一分为二，其中一定有一个是有序的，另一个可能是有序，也能是部分有序。
• 此时有序部分用二分法查找。
• 无序部分再一分为二，其中一个一定有序，另一个可能有序，可能无序。
• 每次缩小一半搜索区间，实现查找

（0）如果nums[mid]==target，直接返回mid即可。否则执行以下两步，不断减小搜索空间
（1）如果nums[left]

（2）如果左半区间有序，并且nums[left] <= target && target < nums[mid]，这说明target刚好在左半区间，否则就在右半区间

如果右半区间有序，并且target > nums[mid] && target <= nums[right]，这说明target刚好落在右半区间，否则就在左半区间

int FindIndexOfTarget(int *nums, int numsSize, int target)
{
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2; //写法比（left+right）/2要好，防止溢出int
        if (nums[mid] == target){
            return mid;
        }
        if (nums[mid] > nums[left]){ //左半部分有序
            if (nums[left] <= target && target < nums[mid]){//target刚好落在左半部分
                right = mid - 1;
            }else{//target不在左半部分，必然在右半区间
                left = mid + 1;
            }
        }
        else{ //右半部分有序
            if (target > nums[mid] && target <= nums[right]){//target刚好在右半部分
                left = mid + 1;
            }else{//target不再右半部分，必然在左半区间
                right = mid - 1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

3.2 编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：每行中的整数从左到右按升序排列。每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

思路：可以完全转化为一维有序数组二分查找的思想，只是初始left为0，初始right为二维数组总元素个数减1，nums[mid]变为了nums[mid/col][mid%col]。代码如下。

bool searchMatrix(int **matrix, int matrixSize, int *matrixColSize, int target)
{
    int row = matrixSize;//二维数组有多少行
    int col = matrixColSize[0];//二维数组每行有多少个元素，即有多少列
    int left = 0;
    int right = row * col - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        int num = matrix[mid / col][mid % col];
        if(num == target){
            return true;
        }
        if (num < target){
            left = mid + 1;
        }
        if (num > target){
            right = mid - 1;
        }
    }
    return false;
}

4 总结

二分查找在学习过程，可能会有不同模板，导致同一例题写法多种多样，不能死记硬背，二分查找核心是不断减小搜索空间，最终查到target。实现过程中要注意死循环问题和数组越界问题，意识到这两个边界问题，能减少不少麻烦。也可参考上述例题二分查找的写法，理解后能解决大部分的二分问题。