分部积分入门

先从回忆函数乘积的导数开始：设有函数

函数乘积

它的导数是

积的导数

分部积分的思想就是从积的导数来的。

上面的导数可以写成

积分

移项，我们可以写成

分部积分公式

假如很幸运，g(x)很简单，比如就是 x；f(x) 的原函数也很好求，那么上式就很简单了。

我们看一个例子：

求积分

在使用分部积分法之前考虑以前能不能用其他方法求出来？
很难，换元法越换越复杂！
所以考虑分部积分法。
这里 cos x 的原函数很好得到，我们让他当 f(x)；让 x 当 `g(x)。套用上式：

分部积分

分部积分法的两部分选对很重要。

读者可以自行尝试积分一下下面几个：

分部积分例子

求幂函数的积分，通常化为是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)：

幂函数容易积分

若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为：

反三角函数难积分

对数函数难难积分

求解过程中出现循环式的，合并同类项：

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