【Java数据结构】——树的介绍及二叉树详细剖析

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一、树的基本概念

树的定义：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2. 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 树是递归定义的。

**【注意】**树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，如下图：

下面是树的重要概念：
已这棵树为例：

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、树的存储结构

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
 int value; // 树中存储的数据 
 Node firstChild; // 第一个孩子引用 
 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用 }

三、二叉树

3.1.二叉树的概念

定义：

二叉树(Binary Tree)是n(n≥0】个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

简单来说：
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

**【注意】**对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

二叉树具有五种基本形态:

1. 空二叉树。
2. 只有一个根结点。
3. 根节点只有左子树
4. 根节点只有右子树
5. 根节点既有左子树也有右子树

3.2.特殊的二叉树

满二叉树：

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树。

满二叉树的特点：

1. 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。
2. 非叶子结点的度一定是2。
3. 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

完全二叉树：

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完
全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

这里值得注意的一点是，满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树却不一定是满二叉树。

完全二叉树的特点:

(1)叶子结点只能出现在最下两层。
(2)最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
(3)倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
(4)如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
(5)同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小。

判断某二叉树是否是完全二叉树的办法，那就是看着树的示意图，心中默默给每个结点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树，否则就是。

如下图，由于10的位置没有，则不是完全二叉树。

3.3.二叉树的性质

性质一：. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点

如上图：

第一层是根结点,只有一个，
所以2^1-1=20=1。
第二层有两个,2^2-1 =2 ^1=2。
第三层有四个,2^3 -1=2^2=4。
第四层有八个2^4 -1 =2^3=8。
通过数据归纳法的论证，可以很容易得出在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点(i≥1)的结论。

性质二：若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k - 1 (k>=0)。

注意这里一定要看清楚，是2^k后再减去1，而不是2k-1。

如上图：
深度为k意思就是有k层的二叉树，我们先来看看简单的。
如果有一层，至多 1=2^0 - 1个结点。
如果有二层，至多1+2=3=2^2-1个结点。
如果有三层，至多1+2+4=7=2^3-1个结点。
如果有四层, 至多1+2+4+8=15=2^4-1个结点。
通过数据归纳法的论证，可以得出，如果有k层，此二叉树至多有2k-1个结点。

性质三：对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。

下面给大家推到一下：

1.假设二叉树度为1的节点数为n1,度为0的为n0，度为2的为n2，则这棵二叉树的结点总数n=n0+n1+n2;

2.对于任何一棵树，如果有n个节点，则会产生n-1条边。
n0：度为0的节点，向下只能产生0条边；
n1：度为1的节点，向下只能产生1条边，如果有n1个节点，则产生n1条边；
n2：度为2的节点，向下只能够产生2条边，如果有n2个节点，则产生2*n2条边。
那么我们可以得到：n-1 = n1+2n2;

所以：n0+n1+n2 = n1+2n2+1

得到：n0 = n2+1;

性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度k为[log2]（n+1）向上取整。

为什么要向上取整？举个例子：

性质五： 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1 若2i+2

以上面的树为例子：

对于第一条来说是很显然的，i=1时就是根结点。i>1时,比如结点7,它的双亲就是7/2=3，结点9，它的双亲就是[9/2]=4。

第二条，比如结点6，因为2×6=12超过了结点总数10，所以结点6无左孩子，它是叶子结点。同样，而结点5，因为2×5=10正好是结点总数10，所以它的左孩子是结点10。

第三条，比如结点5，因为2×5+1=11，大于结点总数10，所以它无右孩子。而结点3，因为2×3+1=7小于10，所以它的右孩子是结点7。

3.4.二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

而顺序存储一般只用用于完全二叉树。

因为顺序存储适用性不强，我们考虑用链式存储结构。二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较明智的想法，我们把这样的链表叫做二叉链表。

其中data是数据域，leftchild和rightchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

// 孩子表示法
class Node { 
int val; // 数据域 
Node leftchild; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 
Node rightchild; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 }

很多公司的面试题、笔试题考察的二叉树基本上都是上面孩子表示法这种形式。

3.5.二叉树的创建

下面创建二叉树的方法是一个相对比较简单的，严格来说不是正确或者是常用的创建方式。实际上二叉树的创建是一个非常复杂的过程。

class BTNode{
    public char val;
    public BTNode left;//左孩子的引用
    public BTNode right;//右孩子的引用
    public BTNode (char val){
        this.val=val;
    }
}
public class BinaryTree {
    public BTNode root;//二叉树的根节点

    public BTNode createTree(){
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }
}

测试：

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        BTNode root =  binaryTree.createTree();
        System.out.println("asdasdfadf");
    }
}

调试看结果：

可以看到，这样我们就创建了一棵二叉树。

再次说明，上述代码并不是创建二叉树的方式。以后有机会我再写一遍博客重点讲解。

3.6.二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结
点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

二叉树的遍历方式可以很多，如果我们限制了从左到右的习惯方式，那么主要就分为四种:

1. 前序遍历
2. 中序遍历
3. 后序遍历
4. 层序遍历

下面，我们来讲解一下各种遍历。

3.6.1.前序遍历

若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。(根左右)如下图所示，遍历的顺为:ABDGHCEIF。

//前序遍历
void preOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

3.6.2.中序遍历

若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树（左根右）。如下图所示，遍历的顺序为:GDHBAEICF。

//中序遍历
    void inOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

3.6.3.后序遍历

若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点（左右根）。如下图所示，遍历的顺序为:GHDBIEFCA。

//后序遍历
    void postOrder(BTNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

3.6.4.层序遍历

若树为空,则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。如下图所示，遍历的顺序为: ABCDEFGHI。

3.7.二叉树的基本操作

 // 求整棵树root的节点个数
    int size(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return size(root.left) + size(root.right) + 1;
    }


    // 获取叶子节点的个数
    int getLeafNodeCount(BTNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }else{
            return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
        }
    }
    /**
     * 获取第K层节点的个数
     * 子问题思路：
     *
     */
    int getKLevelNodeCount(BTNode root,int k) {
        if(root == null || k <= 0) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

    /**
     * 获取二叉树的高度
     * 时间复杂度：O(n)
     * 空间复杂度：O()
     */
    int getHeight(BTNode root) {
        if(root == null) return 0;
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
    }

    int getHeight2(BTNode root) {
        if(root == null) return 0;
        return getHeight2(root.left) > getHeight2(root.right) ?
                getHeight2(root.left)+1 : getHeight2(root.right)+1;
    }

    /**
     * 检测值为value的元素是否存在
     */
    BTNode find(BTNode root, char val) {
        if(root == null) return null;
        if(root.val == val) return root;

        BTNode ret = find(root.left,val);
        if(ret != null) {
            return ret;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if(ret != null) {
            return ret;
        }
        return null;
    }

    /**
     * 是不是完全二叉树
     * @param root
     * @return
     */
    boolean isCompleteTree(BTNode root) {
        if(root == null) return true;
        Queue<BTNode> queue = new LinkedList<>( );
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode cur = queue.poll();
            if(cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }

        while (!queue.isEmpty()) {
            BTNode top = queue.peek();
            if(top != null) {
                return false;
            }
            queue.poll();
        }
        return true;
    }

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总结

历时一天完成，其中有疏漏之处，还请海涵。希望各位看客老爷能一键三连，支持一下，感谢！