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Fourier分析入门——第8章——Fourier系数的统计描述

第 8章 Fourier系数的统计描述

8.1 引言

8.2 统计假设

8.3 Fourier系数对噪声的均值和方差

8.4 Fourier系数对噪声信号的概率分布

8.5 随机信号的Fourier系数分布

8.6 信号平均

第 8章 Fourier系数的统计描述

8.1 引言

上一章通过假设离散函数是通过对连续函数定期采样获得的，将离散函数和连续函数的Fourier分析结合在一起。该练习中隐含的概念是数据向量 v 可以由函数 f ( x ) 的一系列样本表示为

$\mathsf{v} = ( v_1 ,v_2 ,v_3 ,...,v_N )$

-----------------------------------------------------[8.1]

然而，在Fourier分析的实际应用中，样本不太可能与感兴趣的基础函数完全匹配。在这种情况下，通常将正在研究的函数称为信号(signal)，而对该信号的污染影响(contaminating influence)称为噪声(noise)。图 8.1 显示了一个示例，其中家庭作业练习 7.2 中定义的函数被均匀分布在极限 (-0.5, +0.5) 之间的随机噪声污染。

------------------------------------图 8.1 采样数据=信号+噪声---------------------------------------

许多因素可能会在样本值中引入误差。例如，如果要采样的功能通过电极、放大器、滤波器或传输电缆，则不可避免地会导致一定程度的污染。即使采样到有限的精度水平(例如使用 8 位模数转换器)也会引入可能被视为噪声的误差。当考虑测量噪声时，数据向量 v 的一个更现实的模型是

$\mathsf{v} = ( f ( x_1 )+ n_1,f ( x_2 )+ n_2,f ( x_3 ) + n_3 ,...,f ( x_N )+ n_N)$ ------------------[8.2]

其中，每个表示一个加到信号 f ( x ) 上的不同噪声。本章的核心问题是：当信号被噪声污染的时候，与 f ( x )关联的Fourier系数会发生什么变化？

8.2 统计假设

为了检查噪声对Fourier系数的影响，我们必须了解噪声过程的统计属性。在自然界中出现的所有不同类型的噪声中，从数学的角度来看，最简单和最容易处理的噪声具有以下两个特性：

(1) 加性(additive)噪音。换句话说，如等式[8.2]所示,采样值等于被采信号与噪声的线性和。

(2) 每个噪声样本均可从均值0(mean zero)和方差 $\sigma ^{2}$ (variance)的噪声过程(或统计总体(population))中独立地提取。

出于本入门课程的目的，我们将假设我们所研究的噪声满足以上这两个条件。

这两个假设的含义之一是噪声与信号无关。如果一个事件的发生对另一个事件的发生概率没有影响，则两个随机事件 A 和 B 是独立的。使用条件概率表示法，独立性意味着 P(B|A) = P(B)。 在当前背景下，独立性意味着噪声不会仅仅因为信号变大或变小而变大或变小。 另一个含义是，每个噪声样本都来自与所有其他噪声样本具有相同统计特性的统计母体。也就是说，用统计学家的行话，噪声值称为随机变量，这些随机变量的集合被称为独立同分布。这与实验结束时的噪声比实验开始时的噪声大的情况形成对比，这将违反同分布噪声的假设。反之，如果时刻的噪声值依赖于其前某一个时刻的噪声,则其依赖性明显。

因为在数据向量中的每个采样点都被假设为确定为一个确定(deterministic)信号f ( xj )和一个采样的随机噪声信号这意味着，必须视为一个随便变量。此外，由于噪声具有0均值且噪声具有加性，这意味着的均值(或者理论“期望值(expected value)”)等于。由于信号被假设为噪声自由的(noise-free), 的方差等于噪声的方差 $\sigma^{2}$ 。我们将这些结论数学化记为

(采样信号 = 信号 + 噪声)

$\overline{v_j} = f ( x_j )$ (采样均值 = 信号)

$Var(v_j) = \sigma^2$ ( 采样方差=噪声方差 ) ----------------------------------------------------[8.3]

技术术语无关性(uncorrelation)、独立性(independence)和正交性(orthogonality)描述了两个随机变量之间的断开层次(a hierarchy of disconnectedness)。如果随机变量 A 和 B 的乘积的期望值等于他们单独期望的乘积，E(AB) = E(A)E(B)，则它们是不相关的。如果两个变量的乘积的期望值为零，即 E(AB)=0，则这两个变量是正交的。如果两个变量的联合概率等于它们各自概率的乘积 P(A,B) = P(A)P(B)，则这两个变量是独立的。无关是比独立性弱得多的条件，因为它仅取决于平均行为，而独立性取决于 A 和 B 的所有可能值。如果两个随机变量独立，则它们不相关，相反，如果两个变量相关，则它们必须相关依赖。因此，两个统计因变量可能不相关。联合高斯随机变量是这条规则的一个重要例外，因为在这种特殊情况下，不相关等同于独立。

想象相关性和正交性之间差异的另一种方法是考虑随机变量的实现。如果随机变量 A 被采样 D 次，则样本值的结果向量(即实现)可以用 D 维空间中的一个点几何表示。同样，随机变量B的D个样本也用D维空间中的一个点来表示。如果A和B是正交变量，那么从原点到A的向量应该(平均)垂直于从原点到B的向量，这意味着两个实现的内积等于零，这是另一种说法 E(AB)=0。设想相关性是相似的，但是向量首先相对于它们自己的均值居中。这是通过从 A 的每个元素中减去向量 A 中元素的平均值以生成“居中”数据向量来实现的。向量 B 以相同的方式居中，然后将两个向量绘制在 D 维空间中。如果两个居中向量垂直，则基础变量 A 和 B 不相关。由于居中可以改变两个向量之间的角度，原始数据向量可以是垂直的，但当居中时它们有一些倾斜角度。在这种情况下，变量 A 和 B 正交但相关。相反，原始数据向量可以彼此倾斜，但当居中时它们变得垂直，在这种情况下A 和 B 不正交而是不相关的。第三种情况是当原始向量垂直并且在居中时保持垂直，在这种情况下 A 和 B 都是正交且不相关的。

虽然假定时间 j 的噪声值在统计上独立于时间 k 的噪声，但相应的数据值将不是独立的，因为加性信号会引入样本之间的相关性。例如，如果信号在时间 t 很强，那么它可能会在稍晚的时间保持强势。因此，较早时间的信号 + 噪声之和将比稍后时间的信号 + 噪声之和更好地预测。一个实际的例子是通过说明天的天气和今天一样来预测明天的天气。当然会发生变化，但 7 月 2 日的天气更可能像 7 月 1 日的天气，而不是 12 月 1 日的天气。

8.3 Fourier系数对噪声的均值和方差

回顾一下等式[3.30] 和 [3.31]，针对数据向量 v 求得的Fourier系数由三角基函数

$a_k = \frac{2}{D} \sum_{j=0}^{D-1}[v_j cos(k\theta_j)]..........\theta_j = 2\pi x_j/L$ ----------------------------[3.30]

$b_k = \frac{2}{D} \sum_{j=0}^{D-1}[v_j sin(k\theta_j)]..........\theta_j = 2\pi x_j/L$ ----------------------------[3.31]

给出，且复数形式由复数指数基函数

$c_k = \frac{1}{D} \sum_{j=0}^{D-1}[v_j exp(ik\theta_j)]...........\theta_j = 2\pi x_j/L$ -------------------------[4.23]

给出。

现在根据等式 [8.3]每个数据向量是信号向量加上噪声向量的总和。这意味着由等式 [3.30, 3.31]评估的系数可被视为单独对信号的真实Fourier系数的估计。为了看到这一点，我们将 [8.3] 中的第一个方程代入 [3.30] 得到

$\hat{a_k} = \frac{2}{D}\sum_{j=0}^{D-1}\{[f ( x_j ) + n_j]cos(k\theta_j)\}$

$= \frac{2}{D}\sum_{j=0}^{D-1}f ( x_j ) cos(k\theta_j)+ \frac{2}{D}\sum_{j=0}^{D-1}n_jcos(k\theta_j)$

$= a_k + \epsilon_k$ ---------------------------------------------------------------------------------[8.4]

其中， $\hat{a_k}$ 是可积的 Fourier系数。这个结论提示了 $\hat{a_k}$ 是真实的Fourier系数的估计值，误差为 $\epsilon_k$ ，即噪声样本向量的Fourier系数。类似的结果适用于正弦系数。复系数的相应结果是

$\hat{c_k} = \frac{1}{D}\sum_{j=0}^{D-1}\{[f ( x_j ) + n_j]exp(ik\theta_j)\}$

$= \frac{1}{D}\sum_{j=0}^{D-1}f ( x_j )exp(ik\theta_j) + \frac{1}{D}\sum_{j=0}^{D-1}n_jexp(ik\theta_j)$

$= c_k + \epsilon_k$ ----------------------------------------------------------------------------------[8.5]

前面的发展表明，为噪声数据确定的估计Fourier系数也是随机变量，因此我们想知道这些系数的均值(即期望值)和方差。由于每个估计的Fourier系数都是常数和随机变量 $(\epsilon_k)$ 的总和，因此 $\hat{a}$ 中的可变性完全由随机误差项 $\epsilon_k$ 引起。从概率论我们知道，如果是均值 μ 和方差 $\sigma^2$ 的随机变量，并且如果 s 是某个标量常数，则新的随机变量 Z = s 具有均值 sμ 和方差 $\sigma^2$ 。这意味着等式[8.4]中的一般项 $n_j(2/D)cos(k\theta_j)$ 是均值为 0 且方差为 $[\sigma(2/D)cos(\theta_j)]^2$ 的随机变量。概率论的另一个结果是，如果和 Z分别是均值 μ、ν 和方差 $\sigma^2$ 、 $\tau^2$ 的独立同分布随机变量，则新的随机变量W = + Z的均值 μ + ν 和方差 $\sigma^2+\tau^2$ 。简而言之，当随机变量相加时，它们的均值相加，方差相加。将此结果应用于等式[8.4]中的第二个求和。我们看到εk是D个随机变量的总和，每个随机变量的均值为0，方差为 $(4\sigma^2/ D^2)cos^2(k\theta)$ 。因此，εk = 0 的平均值和εk 的方差由下式给出

$Var(\epsilon_k)= \frac{1}{D}\sum_{j=0}^{D-1}(4\sigma^2/D^2) cos^2{(k\theta_j)} = \frac{4\sigma^2}{D^2}\sum_{j=0}^{D-1}cos^2(k \theta_j)$

$\frac{4\sigma^2}{D^2}\cdot \frac{D}{2} =\frac{2\sigma^2}{D}$ (对于 k ≠ 0)

$\frac{4\sigma^2}{D^2}\cdot D =\frac{4\sigma^2}{D}$ (对于 k = 0) -------------------------------------------------------------[8.6]

等式 [8.6] 的简化基于采样余弦函数的平方长度等于 D/2 的事实，除非 k = 0，在这种情况下它等于 D(见练习 3.3) 。 k = 0 作为特例的出现在数学上是相当尴尬的。为了计算方差，正如在 Parseval 定理中所处理的那样(参见等式[7.6])，可以通过将系数重新调整为 $\sqrt{2}$ 系数重新调整为

对于复数 Fourier系数，常规项 $\frac{1}{D}exp(ik \theta_j)\cdot n_j$ 是一个具有均值为0 和方差为 $[\frac{1}{D}exp(ik\theta_j).n_j]^2 \sigma^2$ 的随机变量。D 个这样的随机变量的总和，给出了噪声方差的以下公式

$Var(\epsilon_k) = \frac{\sigma^2}{D^2} \sum_{j=0}^{D-1}[exp(ik\sigma_j)]^2$

$= \frac{ \sigma^2}{D^2}\cdot D= \frac{\sigma^2}{D}$ ----------------------------------------------------------------------------[8.6-1]

复数Fourier系数的一个优点是常数项不是特例。

鉴于这些结果，我们现在可以提供估计Fourier系数的前两个统计矩(statistical moments)的值。从等式[8.4]我们知道，随机变量 $\hat{a_k}$ 是确定项系数的和，并且，随机变量 $\epsilon_k$ 的和，并且，随机变量 $\epsilon_k$ 具有0均值和由等式[8.6]给出的方差。最后，

$Mean(\hat{a_k}) = a_k$

$Var(\hat{a_k}) = \frac{2\sigma^2}{D}$ (对于 k ≠ 0)

$= \frac{4\sigma^2}{D}$ (对于 k ≠ 0)----------------------------------------------------------------------------[8.7]

并且类似的等式适用于正弦系数的估计。复Fourier系数的相应等式是

$Mean(\hat{c_k}) = c_k$

$Var(\hat{c_k}) = \frac{\sigma^2}{D}$ -------------------------------------------------------------------------------[8.7-1]

请注意，由于的方差是 $\frac{4\sigma^2}{D}$ ，则 $\frac{a_0}{2}$ 的方差指的是均值方差，等于 $\frac{\sigma^2}{D}$ ，因此，均值的标准偏差是 $\frac{\sigma}{\sqrt{D}}$ 。(这个结论对于更为明显。) 这是一个来自初等统计的熟悉结论。在统计学上，D个数据的均值的标准偏差称为均值标准误差(standard error of the mean)，其值等于 $\frac{\sigma}{\sqrt{D}}$ ，其中，σ 是从中提取数据的统计总体(population)的标准偏差。

总之，在加性(additive)独立噪声的假设下，所有三角Fourier系数估计值的方差( 除外)等于噪声方差乘以 $\frac{2}{D}$ 。所有复数Fourier系数估计的方差等于噪声方差乘以 $\frac{1}{D}$ 。这表明减少估计方差的一种方法是增加样本点数 D。一种称为信噪比(signal-to-noise ratio，SNR) 的品质因数(A figure of merit)通常用于量化信号的可靠性。特定Fourier系数的 SNR 可以视为均值(例如 )与标准偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{D}}$ 的比值。根据这个定义，估计的Fourier系数的 $SNR = \frac{c_k \sqrt{D}}{\sigma}$ 随着 $\sqrt{D}$ 的增加而增加，并与噪声量 σ 成比例地减少。

8.4 Fourier系数对噪声信号的概率分布

均值和方差是随机变量的有用汇总统计数据，但更完整的表征是概率分布。给定确定性信号，为噪声波形的 D 个样本计算的Fourier系数的概率分布取决于添加噪声的概率分布。正如噪声信号的基本分析中的典型情况，从现在开始我们将假设噪声具有均值 μ 和方差 $\sigma^{2}$ 的Gauss(或正态(normal))概率密度(probability density) $N(\mu , \sigma^2)$ 。在此假设下，噪声信号在任何时刻位于范围(a ,b) 中某处的概率 P

$P = \int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}exp[\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2 }]dx$

由这些限制之间的Gauss概率密度函数下的面积给出。

可以提供Gauss假设的几个理由。首先，许多物理噪声源都可以通过这个特定的概率函数很好地建模。这并不奇怪，因为概率论的中心极限定理指出，无论单个变量的概率分布如何，大量自变量的总和都趋于Gauss分布。另一个原因是权宜之计(expediency)：这个假设使当前的问题变得容易处理。概率论的一个结果是Gauss分布在加法下是封闭的，这意味着任意数量的Gauss随机变量的加权和仍然是Gauss分布。由于随机变量 εk是噪声变量的加权和，如果噪声是Gauss分布的，那么Fourier系数的估计值也是Gauss分布的。简而言之，加性Gauss噪声产生Gauss傅立叶系数。

Gauss分布只有两个参数，即均值和方差，这可以从上面第 8.3 节的更一般的结果中得知。因此，我们可以通过声明，Fourier系数的估计值作为具有以下均值和方差的正态(即Gauss)随机变量分布(“~N(a，b)”读作“有一个具有均值a和方差b的正态分布”),从而总结前面的结果：

$\hat{a_k} \backsim N(a_k,\frac{2\sigma^2}{D})$

$\hat{b_k} \backsim N(b_k,\frac{2\sigma^2}{D})$

$\hat{c_k} \backsim N(c_k,\frac{2\sigma^2}{D})$ --------------------------------------------------------------------------------[8.9]

另一个感兴趣的随机变量是第 k 次谐波的功率。在等式[7.6]中它表明,信号功率是(极性)振幅平方的二分之一。因此，第k次谐波中的估计信号功率为

$\hat{p_k } = \frac{\hat{m_k }^2}{2} = \frac{{\hat{a_k }}^{2} + \hat{b_k }^2}{2} = \hat{c_k }^2 + \hat{c_{-k} }^2$ ----------------------------------------------------[8.10]

从概率论我们知道，如果 X 是一个均值为零、单位方差为零的标准化Gauss随机变量，即如果 X ~N(0,1)，那么变量服从具有 1个自由度的一个卡方(chi-squared)变量。即， $Z \backsim \chi _1^2$ 。如果我们通过减去均值并除以标准偏差，以此标准化等式[8.9]中Fourier系数的估计，则这个结果在当前情况下很有用。这意味着平方化——标准化Fourier系数分布 $\chi ^2$ 为

$(\frac{\hat{a_k}-a_k}{\sqrt{2\sigma^2/D}})^2 \backsim \chi^2_1$ 和 $(\frac{\hat{c_k}-c_k}{\sqrt{2\sigma^2/D}})^2 \backsim \chi^2_1$ -------------------------------------------------[8.11]

类似的表述适用于和 $c_{-k}$ 系数。现在，从概率论我们也知道，如果随机变量 X 和 Y 都服从具有 1 个自由度的卡方分布，那么变量 Z = X + Y 则服从具有 2 个自由度的卡方分布。这意味着

$(\frac{(\hat{a_k}-a_k)^2+(\hat{b_k}-b_k)^2}{2\sigma^2/D})^2 \backsim \chi^2_2$ 和 $\frac{(\hat{c_k}-c_k)^2+(\hat{c_{-k}}-c_{-k})^2}{2\sigma^2/D} \backsim \chi^2_2$ -----------------------------[8.12]

最后一个结果的一个重要实际应用是测试特定谐波频率信号的存在。在这种情况下，可能提出的零假设(null-hypothesis)是第 k 次谐波的Fourier系数为零。在这个假设下，等式[8.12] 简化为

$\frac{(\hat{a_k})^2+(\hat{b_k})^2}{2\sigma^2/D} \backsim \chi^2_2$ 和 $\frac{(\hat{c_k})^2+(\hat{c_{-k}})^2}{2\sigma^2/D} \backsim \chi^2_2$ ---------------------------------------------[8.13]

将这个结果与等式 [8.10] 中信号功率的定义相结合，我们看到

$\frac{\hat{p_k}}{\sigma^2/D} =\frac{Power\hspace{0.2cm} in\hspace{0.2cm} k^{th} \hspace{0.2cm} harmonic}{(Average \hspace{0.2cm} noise \hspace{0.2cm} power)} = relative \hspace{0.2cm}power \hspace{0.2cm}k^{th} \hspace{0.2cm}of \hspace{0.2cm}harmonic$ -------[8.14]

要解释最后的结果，请注意等式 [8.14] 左侧的分母是噪声源的总功率除以确定的Fourier系数的数量。这种解释来自我们对等式[3.45]中给出的Parseval定理的理解，以及 $\sigma^2$ 要解释最后的结果，请注意等式 [8.14] 左侧的分母是噪声源的总功率除以确定的Fourier系数的数量。这种解释来自我们对等式[3.45]中给出的Parseval定理的理解，以及的期望值这一事实。因此，根据这种解释，[8.14] 的分母是每个系数的预期噪声功率量，也就是说，噪声功率谱中的平均功率。因此，左侧的比率是第 k 次谐波中测量的功率量，由平均噪声功率归一化。如果我们称这个无单位量为第 k 次谐波的相对功率，则等式 [8.14]表示在第 k 次谐波处信号功率为零的原假设下，第 k 次谐波中的相对功率分布为 $\chi ^2$ 。

在下一章中，我们将利用等式[8.14]中的结果构建原假设的统计检验。同时，值得回顾的是， $\chi ^2$ 变量的均值等于变量的自由度数，方差等于均值的两倍。由于信号功率是零假设下的缩放 $\chi ^2$ $\chi ^2$ 变量，我们立即知道的标准差(即方差的平方根)等于均值(等式 8.15)，在这种情况下，这意味着 SNR = 1 。通常这样低的 SNR 是不可接受的，这需要下面描述的方法来提高 SNR。

$Mean [\frac{p_k}{\sigma^2/D}] = 2 ,=> Mean [p_k] = \frac{2 \sigma^2}{D}$

$Var [\frac{p_k}{\sigma^2/D}] = 4 ,=> Var [p_k] = 4 (\frac{\sigma^2}{D})^2$ ------------------------------------------------------[8.15]

-----------------图8.2 概率密度函数的卡方(Chi-squared)族-------------------------------------

8.5 随机信号的Fourier系数分布

有时，被调查的信号源根本没有确定性成分，而本身就是一个随机过程。一个例子是脑电图(electroencephalogram)，即放置在头骨上的电极记录的微小电压。其他例子是瞳孔直径(pupil diameter)的正常波动(“hippus”-“虹膜震颤”)和在恒定观察条件下眼睛光焦度的波动。这样的信号被称为随机信号，因为它们不容易作为确定性分量加上随机噪声分量的总和而适合等式 [8.2] 的模型，除非我们简单地完全删除信号项。

随机(即随机)信号的Fourier分析通常以极坐标形式进行，因为信号的随机性质降低了相位的重要性，只留下感兴趣的频谱的幅度部分。此外，不是绘制Fourier系数的幅度而是绘制更常见，它是谐波分量的功率。因此，每个Fourier分量的功率图作为频率的函数称为功率谱(power spectrum)。一个随机过程的功率谱满足每个样本独立于每个其他样本并具有相同分布的假设，这将是平坦的。这是因为，如等式 [8.14]表明，对于零信号的情况，每个谐波的功率是相同的。具有平坦功率谱的噪声源称为“白(white)”噪声，类似于可见光谱。这个结论的一个推论(corollary)是，如果以产生非平坦频谱(即“彩色”频谱)的方式过滤噪声源，则噪声样本将不再独立且分布相同。实际上，过滤引入了样本之间的相关性，因此它们不再是统计独立的。

在第 8.4 节末尾观察到，在没有确定性信号的情况下，的标准差等于平均值，这意味着 SNR = 1。“信号”在本文中的含义是的估计值，即随机信号的 k 次谐波分量的功率。通常，如此低的 SNR 值是不可接受的，因此需要寻求提高可靠性的方法。一种方法是重复采样波形和计算功率谱的过程。如果将 M 个谱加在一起，则每个谐波的功率将是 M 个随机变量的总和，每个随机变量均服从具有 2 个自由度的 $\chi^2$ 分布。因此，总功率将分布为自由度为 2M 的 $\chi^2$ ，均值为 2M，标准差为 $2\sqrt{M}$ 。平均功率是总功率除以 M，

$\overline{p_k} = \frac{1}{M}\sum_{M}{\chi^2} \backsim \frac{1}{M}\sum_{M}{\chi_{2M}^2}$ ----------------------------------------------------------------[8.16]

其均值，方差和 SNR 分别是

$mean(\overline{p_k}) = \frac{1}{M}\cdot2M = 2$

$variance(\overline{p_k} = (\frac{1}{M})^2\cdot 4M = \frac{4}{M}$

$SNR = \frac{mean}{\sqrt{variance} }= \frac{2}{2/\sqrt{M}} = \sqrt{M}$ ----------------------------------------------------------[8.17]

因此，我们得出结论，通过平均 M 个单独的频谱创建的随机信号的估计功率谱的可靠性与 $\sqrt{M}$ 成比例增加。

一种等效技术是对 M 个样本向量进行平均，然后计算平均数据向量的功率谱。由于数据向量的每个分量的可靠性与 $\sqrt{M}$ 成正比(因为均值的标准误差与 $\sqrt{M}$ 反比)，计算出的功率谱也是如此。

8.6 信号平均

研究系统行为的常用方法是用周期性刺激强制驱使系统，然后测量响应。任何真实系统都会不可避免地产生噪声响应，这使得响应的每个周期或时期与其他时期略有不同。从概念上讲，有两种方法可以对此类响应波形进行Fourier分析。第一种是将 n 个历元(epoch)视为长度为 nL 的时间间隔内的一个连续响应。另一种方法是分别分析每个时期。如果响应波形在每个时期被采样 D 次，那么这两种方法都会产生 nD 个Fourier系数。不同之处在于，在第一种方法中，系数对应于 nD /2 个不同的谐波，而在第二种方法中，它们对应于相同的 D/2 个谐波的重复。在许多情况下，第一种方法中包含的大部分谐波都没有意义。因此，第二种方法提供了一个机会来估计所测量系数的统计可靠性。这是以一种称为光谱的直接方式完成的平均。给定系数的 n 个度量，可以独立于所有其他系数计算的均值和的方差。应该注意的是，在第一种方法中，通过频谱平均确定的的平均值将恰好等于对应频率的系数值。这是因为系数的值是通过样本值与感兴趣的样本正弦波的内积得出的。内积对样本点进行求和，因此无论是一次性求和(方法1)还是逐个求和(方法2)都无关紧要。练习 8.1 是一个验证这一点的实际例子。

虽然用谱平均法很容易计算Fourier系数的均值和方差，但指定Fourier系数的概率分布就比较难了。等式 [8.10] 表示标准化系数分布为自由度为 1 的 $\chi^2$ 。这意味着非标准化分布是按比例缩放的非中心 $\chi^2$ 分布。遗憾的是，n 个这样的随机变量的总和并不那么容易处理。概率论的中心极限定理有一些令人欣慰的地方，它指出，无论的分布如何，如果 n 很大，的均值分布将近似呈Gauss分布。

分析多个时期的另一种常见方法是对各个时期的数据进行平均，以产生一个平均波形，然后对其进行Fourier分析。这种方法称为信号平均。练习 8.1 证明了用这种方法得到的Fourier系数与通过谱平均得到的平均系数相同。该结果是Fourier分析是线性运算的结果。无论是先对数据进行平均然后进行光谱分析，还是相反，先进行光谱分析再进行平均，都没有关系。

内容来源：

<< Fourier Analysis for Beginners>> Larry N. Thibos

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在MySQL中设置只读实例主要应用于构建高可用性和扩展性的数据库环境，通常是为了分担读取负载或者用于备份和灾难恢复。以下是创建MySQL只读实例并确保数据一致性的基本步骤：1.创建并配置只读实例-主从复制设置-首先，你需要有一个主数据库实例（Master）负责接收所有的写操作。-创建一个或多个从数据库实例（Slave），并将它们配置为主数据库的复制品。这通常通过设置主从复制（Replication
拼多多纸巾推荐：品质与性价比的完美结合氧惠帮朋友一起省
拼多多纸巾推荐拼多多纸巾返现怎么做在我们的日常生活中，纸巾已经成为不可或缺的用品。无论是在家庭、办公室还是旅途中，纸巾都是我们随时随地需要的物品。随着电商平台的兴起，越来越多的人选择在网上购买纸巾。其中，拼多多作为国内知名的电商平台之一，以其独特的社交电商模式和实惠的价格吸引了大量用户。今天，我们就来探讨如何在拼多多上选择品质优良、性价比高的纸巾，以及如何通过一些小技巧来获取更多的优惠。一、品质与
word字号和mathtype磅值关系及批量修改小铁匠-Ma office小技巧经验分享
word字号和mathtype磅值关系及批量修改1.字号与磅值关系字号「八号」对应磅值5字号「七号」对应磅值5.5字号「小六」对应磅值6.5字号「六号」对应磅值7.5字号「小五」对应磅值9字号「五号」对应磅值10.5字号「小四」对应磅值12字号「四号」对应磅值14字号「小三」对应磅值15字号「三号」对应磅值16字号「小二」对应磅值18字号「二号」对应磅值22字号「小一」对应磅值24字号「一号」对应
美团自动配送车2024春季招聘 | 社招专场美团技术团队
关于美团自动配送团队美团自动配送以自研L4级自动驾驶软硬件技术为核心，与美团即时零售业务结合，形成满足公开道路、校园、社区、工业园区等室外全场景下的自动配送整体解决方案。美团自动配送团队成立于2016年，团队成员来自于Waymo、Cruise、Pony.ai、泛亚等自动驾驶行业头部公司，自动驾驶技术团队博士占比高达30%，依靠视觉、激光等传感器，实时感知预测周围环境，通过高精地图定位和智能决策规划
php 把一个数组分成有n个元素的二维数组的算法风清扬-独孤九剑 php php 算法
一、第一种解法0){$columns_map[$position]++;//这个地方格外注意,$position与$columns比较$position=($position<$columns-1)?++$position:0;$array_length--;}foreach($columns_mapas$val){$newarray[]=array_splice($array,0,$val);}
花气袭人知昼暖柒侠传
花气袭人知昼暖高一七班黄韵熹37号花袭人，原名花珍珠，位列金陵十二钗又副册中的第二位。“袭人”这一称呼源于“花气袭人知昼暖”这一诗句，是宝玉给起的。想起来便觉得暖融融的，一如花袭人温柔的笑容。但花袭人着实是令人又爱又怕的角色。第二十一回的回目将她赞作“贤袭人”，脂砚斋在一旁批道“当得起”。花袭人对宝玉的确是一片真心。她为劝宝玉收敛他那成日在大观园里与姐姐妹妹“厮混”的性子，假借家人赎回的机会，软语
你之所以胖，可能是因为小时候发生这件事！还不赶快甩锅周围_5d19
通常，我们认为，“肥胖”主要是由于饮食不节制、不经常运动等等因素引起的。但最近，我国学者开展的一项针对6到18岁儿童青少年、随访长达十年的代谢综合征研究结果，在权威国际期刊发表。研究发现，儿童的肥胖和超重与睡眠密切相关，儿童、青少年时期睡眠不好，成人后也更容易患心血管疾病。那么，为什么儿童青少年睡眠不足会导致肥胖呢？今天就带大家一探究竟。儿童青少年肥胖的现状如何？近日，一项刊载在医学权威期刊《柳叶
SpringMVC设置全局异常处理器水岸齐天 java spring
文章目录背景分析使用@ControllerAdvice（@RestControllerAdvice）+@ExceptionHandler实现全局异常全局异常处理-多个处理器匹配顺序存在一个类中存在不同的类中对于过滤器和拦截器中的异常，有两种思路可以考虑背景在项目中我们有需求做一个全局异常处理，来规范所有出去的异常信息。参考：官方文档分析首先ControllerAdvice(RestControll
uni-app实现步骤条夏夏的码农 uni-app
实现如图样式html部分代码如下投资期限与收益0?'active':'default'">募集开始1?'active':'default'">募集结束2?'active':'default'">产品成立3?'active':'default'">产品到期0?'active-step1':'step1'">1?'active-st
【算法分析与设计】去除重复字母五敷有你算法分析与设计 java javascript 开发语言算法数据结构
个人主页：五敷有你系列专栏：算法分析与设计⛺️稳中求进，晒太阳题目给你一个字符串s，请你去除字符串中重复的字母，使得每个字母只出现一次。需保证返回结果的字典序最小（要求不能打乱其他字符的相对位置）。示例示例1：输入：s="bcabc"输出："abc"示例2：输入：s="cbacdcbc"输出："acdb"思路贪心+单调栈实现【字符串删除一个字符使其字典序最小的贪心策略】：对于两个长度相同的字符串，
社交电商是什么意思通俗的说氧惠好项目
社交电商是目前电商发展的一个非常热门的领域，它将传统的电商和社交媒体相结合，让用户可以在社交平台上完成购物、支付等操作。社交电商不同于传统电商，它更加注重用户的社交性和互动性，通过社交媒体的传播，吸引用户关注，让产品能够更加快速地传播。京东密令红包：最爱领红包828红包多多148今天给大家分享我长期在做的副业，也在这里赚到人生第3桶金！氧惠APP佣金高，资质靠谱，各大应用市场均可搜索使用。【氧惠】
数据分析：低代码平台助力大数据时代的飞跃发展快乐非自愿数据分析低代码大数据
随着信息技术的突飞猛进，我们身处于一个数据量空前增长的时代——大数据时代。在这个时代背景下，数据分析已经成为企业决策、政策制定、科学研究等众多领域不可或缺的重要工具。然而，面对海量的数据和日益复杂多变的分析需求，传统的数据分析方法往往捉襟见肘，难以应对。幸运的是，低代码平台的兴起为大数据分析注入了新的活力，成为推动大数据时代发展的重要力量。低代码平台，顾名思义，是一种通过少量甚至无需编写代码，就能
以前开发MFC界面如何快速转成QT界面广州视觉芯软件有限公司 mfc qt c++
将MFC界面快速转换为Qt界面可能需要进行一些手动工作，因为MFC和Qt是两个不同的界面框架，它们具有不同的设计和实现原理。但是，以下步骤可以帮助你快速进行转换：创建一个新的Qt项目：使用QtCreator创建一个新的Qt项目。分析MFC界面：仔细分析你的MFC界面，包括窗口、对话框、控件等的布局、样式和行为。重新设计界面：使用Qt的可视化设计器重新设计界面。在QtCreator的设计器中，你可以
购物返利平台是真的吗返金app平台高佣返利省钱
购物返利平台是真实存在的，它们提供一种通过购物来获取一定比例返现的服务。这些平台通常与商家合作，通过返利链接或其他追踪方式来追踪用户的购物行为，然后将一部分返现金额返还给用户。然而，需要注意的是，并非所有的购物返利平台都是可信的。在选择使用购物返利平台时，建议您注意以下几个方面：可信度和口碑：查看平台的用户评价和口碑，了解其他用户对该平台的使用体验和返利情况。合作商家：了解平台的合作商家是否可靠，
数据挖掘|数据预处理|基于Python的数据标准化方法皖山文武数据挖掘数据建模与分析 python 数据挖掘开发语言
基于Python的数据标准化方法1.z-score方法2.极差标准化方法3.最大绝对值标准化方法在数据分析之前，通常需要先将数据标准化（Standardization），利用标准化后的数据进行数据分析，以避免属性之间不同度量和取值范围差异造成数据对分析结果的影响。1.z-score方法Z-score方法是基于原始数据的均值和标准差来进行数据标准化的，处理后的数据均值为0，方差为1，符合标准正态分布
＜商务世界＞《第25课餐桌上的礼仪-简单的流程》 Ealser 商务世界中国餐桌礼节
第一：迎客席座一般的程序是主人给客人邀请函——日子到了，主人到门外迎客——客人到了，问候几句——带着可人到0客厅小坐一会儿，给客人茶点——带客人入席坐好！第二：入座与座次首先要请客人中长者或地位高的先入座，再按身份地位依次入座，入座时要从椅子左边进入。（正对门口的为上座，一般是根据对方的.身份地位来安排）。入座后不要动筷子，更不要弄出什么响声来，也不要起身走动。如果有什么事要向主人打招呼！（做小辈
ChatGPT一路狂飙？何鲸洛
2月2日。根据投行瑞银集团在周三发布的一份研究报告。爆红聊天机器人ChatGPT的月活跃用户在今年1月份预计达到了1亿，这距离它推出只有2个月时间，成为史上增长最快的消费者应用。①ChatGPT一路火花带闪电？▽2014年。OpenAI创始人SamAltman早年曾执掌著名的硅谷孵化器YCombinator。2015年。Altman联合马斯克、彼得·泰尔、AWS、印度Infosys和YC等作为出资
【美丽特色乡村】，景德镇马鞍岭村，粒子飞翔
【美丽特色乡村】，景德镇马鞍岭村，就像是陶渊明笔下的山水田园，阡陌交通，精美的白房参差错落，碧绿透亮的河水从不远处的深涧里连绵不绝流入此地，滋养着土里。成群的白鸭悠闲地在河水里戏水，人与环境达成和谐的境界。借助三宝国际瓷谷建设的契机，马鞍岭村迎来了天翻地覆的沧桑巨变,此地以陶瓷文化为特色，融合原来生态资源，修复了水碓遗址、矿坑遗址等历史文化遗产，提升生态环境现状。同时，依托三宝溪围绕整个村落，对河
2019.11.28感恩日记 afab5b74f713
1.感谢真我守护，一觉到天明，谢谢谢谢谢谢！2.感谢一大早，橘子就甩来4800的大红包，谢谢谢谢谢谢！3.感谢今天代理宝宝们疯狂加单，钱宝宝流入小十万，太牛了你们，有你们真好，谢谢谢谢谢谢！4.感谢自己拥有钱宝宝，可以去群里给宝宝们发红包，表达我的爱，谢谢谢谢谢谢钱宝宝爱我！5.感谢自己的细胞宝宝们，让我保持健康与活力，可以自由活动，活力满满，谢谢谢谢谢谢！6.感谢芬姐甩来订单，谢谢谢谢谢谢钱宝宝
C#中的PLINQ和LINQ的效率对比搬砖的诗人Z C#c#linq 开发语言
PLINQ（ParallelLINQ）和LINQ（LanguageIntegratedQuery）都是.NET框架中的功能，用于对集合进行查询和操作。它们之间的主要区别在于并行处理能力。LINQ:LINQ是一种用于在.NET应用程序中进行数据查询和操作的语言集成功能。它提供了一种统一的方式来查询各种数据源，如集合、数组、XML、数据库等。LINQ是在单线程环境中执行查询操作的，因此对于大型数据集或
2022-2-13晨间日记越亮也打烊
今天是什么日子起床：7:00就寝：12:08天气：晴心情：糟糕纪念日：无任务清单昨日完成的任务，最重要的三件事：寒假作业，网课，画画改进：作业时间剪短习惯养成：网课不逃～周目标·完成进度数学卷子100％学习·信息·阅读《傅雷家书》《钢铁是怎样炼成的》健康·饮食·锻炼我终于不喝饮料啦，喝茶～人际·家人·朋友邝姐姐带我吃火锅工作·思考啥时候开学，我还有几天赶完作业最美好的三件事1.卷子写完了2.我有冰
中原焦点团队38期王芳芳坚持分享第236天，20230630总约练134次，来访113次，咨8次，观察员13次芳芳王
学习焦点的初心是想拯救孩子，孩子由于沉迷游戏，成绩下滑，在学习的过程中发现是自己的教育方式出了状况。经过半年的学习，一些焦点的基本技巧，如接纳、欣赏、倾听、同理心、尊重等都有了一定的了解。但在实际应用时仍然存在很多问题，感觉自己仍然没有放下对孩子成绩的期望，仍然把握不住对孩子管理的度。我该如何去陪伴好孩子？多用心去听课，并加强反思，多约练。去思考如何让自己快乐起来？
请简单介绍一下Shiro框架是什么？Shiro在Java安全领域的主要作用是什么？Shiro主要提供了哪些安全功能？ AaronWang94 shiro java java 安全开发语言
请简单介绍一下Shiro框架是什么？Shiro框架是一个强大且灵活的开源安全框架，为Java应用程序提供了全面的安全解决方案。它主要用于身份验证、授权、加密和会话管理等功能，可以轻松地集成到任何JavaWeb应用程序中，并提供了易于理解和使用的API，使开发人员能够快速实现安全特性。Shiro的核心组件包括Subject、SecurityManager和Realms。Subject代表了当前与应用
谷歌浏览器驱动Chromedriver（114-120版本）文件以及驱动下载教程 pigerr杨 Python python chrome drivers
ChromeDriver官方网站GitHub||GoogleChromeLabs/chrome-for-testingChromeDriver113-125_JSONChromeforTestingavailability123-125zip白月黑羽Python基础|进阶|Qt图形界面|Django|自动化测试|性能测试|JS语言|JS前端|原理与安装
VMware Workstation 11 或者 VMware Player 7安装MAC OS X 10.10 Yosemite iwindyforest vmware mac os 10.10 workstation player
最近尝试了下VMware下安装MacOS 系统，安装过程中发现网上可供参考的文章都是VMware Workstation 10以下， MacOS X 10.9以下的文章，只能提供大概的思路，但是实际安装起来由于版本问题，走了不少弯路，所以我尝试写以下总结，希望能给有兴趣安装OSX的人提供一点帮助。写在前面的话：其实安装好后发现，由于我的th
关于《基于模型驱动的B/S在线开发平台》源代码开源的疑虑？ deathwknight JavaScript java 框架
本人从学习Java开发到现在已有10年整，从一个要自学 java买成javascript的小菜鸟，成长为只会java和javascript语言的老菜鸟（个人邮箱：[email protected]）一路走来，跌跌撞撞。用自己的三年多业余时间，瞎搞一个小东西（基于模型驱动的B/S在线开发平台，非MVC框架、非代码生成）。希望与大家一起分享，同时有许些疑虑，希望有人可以交流下平台
如何把maven项目转成web项目 Kai_Ge maven MyEclipse
创建Web工程，使用eclipse ee创建maven web工程 1.右键项目,选择Project Facets,点击Convert to faceted from 2.更改Dynamic Web Module的Version为2.5.(3.0为Java7的,Tomcat6不支持). 如果提示错误,可能需要在Java Compiler设置Compiler compl
主管？？？ Array_06 工作
转载：http://www.blogjava.net/fastzch/archive/2010/11/25/339054.html 很久以前跟同事参加的培训，同事整理得很详细，必须得转！前段时间，公司有组织中高阶主管及其培养干部进行了为期三天的管理训练培训。三天的课程下来，虽然内容较多，因对老师三天来的课程内容深有感触，故借着整理学习心得的机会，将三天来的培训课程做了一个
python内置函数大全 2002wmj python
最近一直在看python的document，打算在基础方面重点看一下python的keyword、Build-in Function、Build-in Constants、Build-in Types、Build-in Exception这四个方面，其实在看的时候发现整个《The Python Standard Library》章节都是很不错的，其中描述了很多不错的主题。先把Build-in Fu
JSP页面通过JQUERY合并行 357029540 JavaScript jquery
在写程序的过程中我们难免会遇到在页面上合并单元行的情况，如图所示如果对于会的同学可能很简单，但是对没有思路的同学来说还是比较麻烦的，提供一下用JQUERY实现的参考代码 function mergeCell(){ var trs = $("#table tr"); &nb
Java基础冰天百华 java基础
学习函数式编程 package base; import java.text.DecimalFormat; public class Main { public static void main(String[] args) { // Integer a = 4; // Double aa = (double)a / 100000; // Decimal
unix时间戳相互转换 adminjun 转换 unix 时间戳
如何在不同编程语言中获取现在的Unix时间戳(Unix timestamp)？ Java time JavaScript Math.round(new Date().getTime()/1000) getTime()返回数值的单位是毫秒 Microsoft .NET / C# epoch = (DateTime.Now.ToUniversalTime().Ticks - 62135
作为一个合格程序员该做的事 aijuans 程序员
作为一个合格程序员每天该做的事 1、总结自己一天任务的完成情况最好的方式是写工作日志，把自己今天完成了什么事情，遇见了什么问题都记录下来，日后翻看好处多多 2、考虑自己明天应该做的主要工作把明天要做的事情列出来，并按照优先级排列，第二天应该把自己效率最高的时间分配给最重要的工作 3、考虑自己一天工作中失误的地方，并想出避免下一次再犯的方法出错不要紧，最重
由html5视频播放引发的总结 ayaoxinchao html5 视频 video
前言项目中存在视频播放的功能，前期设计是以flash播放器播放视频的。但是现在由于需要兼容苹果的设备，必须采用html5的方式来播放视频。我就出于兴趣对html5播放视频做了简单的了解，不了解不知道，水真是很深。本文所记录的知识一些浅尝辄止的知识，说起来很惭愧。视频结构本该直接介绍html5的<video>的，但鉴于本人对视频
解决httpclient访问自签名https报javax.net.ssl.SSLHandshakeException: sun.security.validat bewithme httpclient
如果你构建了一个https协议的站点，而此站点的安全证书并不是合法的第三方证书颁发机构所签发，那么你用httpclient去访问此站点会报如下错误 javax.net.ssl.SSLHandshakeException: sun.security.validator.ValidatorException: PKIX path bu
Jedis连接池的入门级使用 bijian1013 redis redis数据库 jedis
Jedis连接池操作步骤如下： a.获取Jedis实例需要从JedisPool中获取； b.用完Jedis实例需要返还给JedisPool； c.如果Jedis在使用过程中出错，则也需要还给JedisPool； packag
变与不变 bingyingao 不变变亲情永恒
变与不变周末骑车转到了五年前租住的小区，曾经最爱吃的西北面馆、江西水饺、手工拉面早已不在，各种店铺都换了好几茬，这些是变的。三年前还很流行的一款手机在今天看起来已经落后的不像样子。三年前还运行的好好的一家公司，今天也已经不复存在。一座座高楼拔地而起，
【Scala十】Scala核心四：集合框架之List bit1129 scala
Spark的RDD作为一个分布式不可变的数据集合，它提供的转换操作，很多是借鉴于Scala的集合框架提供的一些函数，因此，有必要对Scala的集合进行详细的了解 1. 泛型集合都是协变的，对于List而言，如果B是A的子类，那么List[B]也是List[A]的子类，即可以把List[B]的实例赋值给List[A]变量 2. 给变量赋值(注意val关键字，a，b
Nested Functions in C bookjovi c closure
Nested Functions 又称closure，属于functional language中的概念，一直以为C中是不支持closure的，现在看来我错了，不过C标准中是不支持的，而GCC支持。既然GCC支持了closure，那么 lexical scoping自然也支持了，同时在C中label也是可以在nested functions中自由跳转的
Java-Collections Framework学习与总结-WeakHashMap BrokenDreams Collections
总结这个类之前，首先看一下Java引用的相关知识。Java的引用分为四种：强引用、软引用、弱引用和虚引用。强引用：就是常见的代码中的引用，如Object o = new Object();存在强引用的对象不会被垃圾收集
读《研磨设计模式》-代码笔记-解释器模式-Interpret bylijinnan java 设计模式
声明：本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ package design.pattern; /* * 解释器（Interpreter）模式的意图是可以按照自己定义的组合规则集合来组合可执行对象 * * 代码示例实现XML里面1.读取单个元素的值 2.读取单个属性的值 * 多
After Effects操作&快捷键 cherishLC After Effects
1、快捷键官方文档中文版：https://helpx.adobe.com/cn/after-effects/using/keyboard-shortcuts-reference.html 英文版：https://helpx.adobe.com/after-effects/using/keyboard-shortcuts-reference.html 2、常用快捷键
Maven 常用命令 crabdave maven
Maven 常用命令 mvn archetype:generate mvn install mvn clean mvn clean complie mvn clean test mvn clean install mvn clean package mvn test mvn package mvn site mvn dependency:res
shell bad substitution daizj shell 脚本
#!/bin/sh /data/script/common/run_cmd.exp 192.168.13.168 "impala-shell -islave4 -q 'insert OVERWRITE table imeis.${tableName} select ${selectFields}, ds, fnv_hash(concat(cast(ds as string), im
Java SE 第二讲（原生数据类型 Primitive Data Type） dcj3sjt126com java
Java SE 第二讲： 1. Windows: notepad, editplus, ultraedit, gvim Linux: vi, vim, gedit 2. Java 中的数据类型分为两大类： 1）原生数据类型（Primitive Data Type） 2）引用类型（对象类型）（R
CGridView中实现批量删除 dcj3sjt126com PHP yii
1，CGridView中的columns添加 array( 'selectableRows' => 2, 'footer' => '<button type="button" onclick="GetCheckbox();" style=&
Java中泛型的各种使用 dyy_gusi java 泛型
Java中的泛型的使用：1.普通的泛型使用在使用类的时候后面的<>中的类型就是我们确定的类型。 public class MyClass1<T> {//此处定义的泛型是T private T var; public T getVar() { return var; } public void setVa
Web开发技术十年发展历程 gcq511120594 Web 浏览器数据挖掘
回顾web开发技术这十年发展历程： Ajax 03年的时候我上六年级，那时候网吧刚在小县城的角落萌生。传奇，大话西游第一代网游一时风靡。我抱着试一试的心态给了网吧老板两块钱想申请个号玩玩，然后接下来的一个小时我一直在，注，册，账，号。彼时网吧用的512k的带宽，注册的时候，填了一堆信息，提交，页面跳转，嘣，”您填写的信息有误，请重填”。然后跳转回注册页面，以此循环。我现在时常想，如果当时a
openSession()与getCurrentSession()区别： hetongfei java DAO Hibernate
来自 http://blog.csdn.net/dy511/article/details/6166134 1.getCurrentSession创建的session会和绑定到当前线程,而openSession不会。 2. getCurrentSession创建的线程会在事务回滚或事物提交后自动关闭,而openSession必须手动关闭。这里getCurrentSession本地事务(本地
第一章安装Nginx+Lua开发环境 jinnianshilongnian nginx lua openresty
首先我们选择使用OpenResty，其是由Nginx核心加很多第三方模块组成，其最大的亮点是默认集成了Lua开发环境，使得Nginx可以作为一个Web Server使用。借助于Nginx的事件驱动模型和非阻塞IO，可以实现高性能的Web应用程序。而且OpenResty提供了大量组件如Mysql、Redis、Memcached等等，使在Nginx上开发Web应用更方便更简单。目前在京东如实时价格、秒
HSQLDB In-Process方式访问内存数据库 liyonghui160com
HSQLDB一大特色就是能够在内存中建立数据库，当然它也能将这些内存数据库保存到文件中以便实现真正的持久化。先睹为快！下面是一个In-Process方式访问内存数据库的代码示例：下面代码需要引入hsqldb.jar包（hsqldb-2.2.8） import java.s
Java线程的5个使用技巧 pda158 java 数据结构
Java线程有哪些不太为人所知的技巧与用法？　　萝卜白菜各有所爱。像我就喜欢Java。学无止境，这也是我喜欢它的一个原因。日常工作中你所用到的工具，通常都有些你从来没有了解过的东西，比方说某个方法或者是一些有趣的用法。比如说线程。没错，就是线程。或者确切说是Thread这个类。当我们在构建高可扩展性系统的时候，通常会面临各种各样的并发编程的问题，不过我们现在所要讲的可能会略有不同。
开发资源大整合：编程语言篇——JavaScript（1） shoothao JavaScript
概述：本系列的资源整合来自于github中各个领域的大牛，来收藏你感兴趣的东西吧。程序包管理器管理javascript库并提供对这些库的快速使用与打包的服务。 Bower - 用于web的程序包管理。 component - 用于客户端的程序包管理，构建更好的web应用程序。 spm - 全新的静态的文件包管
避免使用终结函数 vahoa.ma java jvm C++
终结函数（finalizer）通常是不可预测的，常常也是很危险的，一般情况下不是必要的。使用终结函数会导致不稳定的行为、更差的性能，以及带来移植性问题。不要把终结函数当做C++中的析构函数（destructors）的对应物。我自己总结了一下这一条的综合性结论是这样的： 1）在涉及使用资源，使用完毕后要释放资源的情形下，首先要用一个显示的方