leetcode 面试题 08.01. 三步问题

题目

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。
示例1:

输入：n = 3
输出：4
说明: 有四种走法
示例2:

输入：n = 5
输出：13
提示:

n范围在[1, 1000000]之间

思路

1. 状态转移式的分析

台阶	方案数	说明
0	0	无意义
1	1	仅有一次上一个台阶这中方法
2	2	0→2（1）或者1→2（1）
3	4	0→3（1）或者1→3（1）或者2→3（2）
4	7	1→4（1）或者2→4（2）或者3→4（4）

2. 确定状态转移方程
   • 一次可以上1阶、2阶或3阶，有三种跨法，以每种跨法最后的一步来划分（直接到达目标台阶），那么在要上第n（n>=3）阶的时候，可以从n-3阶上、可以从n-2阶上，也可以从n-1阶上（以所求状态最近的一步来划分问题）
   • 从n-3阶上的时候，只用从n-3直接跨3阶到n，此跨法的方案数就等同于从0阶到第n-3阶的方案数
   • 同理，从n-2阶上的时候，只用从n-2直接跨2阶到n，方案数等同于从0阶到第n-2阶的方案数；从n-1阶上的时候，只用从n-1直接跨1阶到n，方案数等同于从0阶到第n-1阶的方案数。
   • 那么总的方案数就等于以上3种情况之和
   • 建立一维dp数组，index对应台阶数，value对应从0到i台阶的方案数。那么到达第 i 个台阶时，则有dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1]
3. 初始化
   保障填dp[]表的时候不越界
4. 填表
   确定填表顺序，保障目标位置需求的数据已经处理完毕
   根据动态转移方程，填表顺序应为从左往右
5. 确定返回值
   到达第n号台阶，即dp[n]，要访问到第n个位置，那么dp[]表的大小应该为n+1

代码

class Solution {
    public int waysToStep(int n) {
        if (n == 0 || n == 1 || n == 2) return n;   //2.初始化
        if (n == 3) return 4;
        int MOD = (int)1e9 + 7;
        
        int[] dp = new int[n +1];   //1.创建dp表
        
        dp[0] = 0;    //2.初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;
        for (int i = 4;i <= n;i ++){   //3.填表
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2])%MOD + dp[i - 3])%MOD;
        }

        return dp[n];  //4.确定返回值
    }
}