二分查找
二分查找
正常实现
Input : [1,2,3,4,5]
key : 3
return the index : 2
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] == key) {
return m;
} else if (nums[m] > key) {
h = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return -1;
}
时间复杂度
二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度为 O(logN)。
m 计算
有两种计算中值 m 的方式：
- m = (l + h) / 2
- m = l + (h - l) / 2
l + h 可能出现加法溢出，也就是说加法的结果大于整型能够表示的范围。但是 l 和 h 都为正数，因此 h - l 不会出现加法溢出问题。所以，最好使用第二种计算法方法。
未成功查找的返回值
循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：
- -1：以一个错误码表示没有查找到 key
- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置
变种
二分查找可以有很多变种，变种实现要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= key) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
该实现和正常实现有以下不同：
- h 的赋值表达式为 h = m
- 循环条件为 l < h
- 最后返回 l 而不是 -1
在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。
在 h 的赋值表达式为 h = m 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l <= h 时循环无法退出的情况：（所以写while循环条件就根据h的赋值来决定是否需要=号）
nums = {0, 1, 2}, key = 1
l m h
0 1 2 nums[m] >= key
0 0 1 nums[m] < key
1 1 1 nums[m] >= key
1 1 1 nums[m] >= key
...
当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
1. 求开方
69. Sqrt(x) (Easy)
Input: 4
Output: 2
Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 ~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 ~ x 之间查找 sqrt。
对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
int l = 1, h = x;
while (l <= h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
int sqrt = x / mid;
if (sqrt == mid) {
return mid;
} else if (mid > sqrt) {
h = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return h;
}
2. 大于给定元素的最小元素
744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
Output: "f"
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
Output: "c"
题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符，如果找不到就返回第 1 个字符。
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
int n = letters.length;
int l = 0, h = n - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (letters[m] <= target) {
l = m + 1;
} else {
h = m - 1;
}
}
return l < n ? letters[l] : letters[0];
}
3. 有序数组的 Single Element
540. Single Element in a Sorted Array (Medium)
Input: [1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 8, 8]
Output: 2
题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。
要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解，因此不能遍历数组并进行异或操作来求解，这么做的时间复杂度为 O(N)。
令 index 为 Single Element 在数组中的位置。在 index 之后，数组中原来存在的成对状态被改变。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < index，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= index，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 index 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 index 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。
因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (m % 2 == 1) {
m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
}
if (nums[m] == nums[m + 1]) {
l = m + 2;
} else {
h = m;
}
}
return nums[l];
}
4. 第一个错误的版本
278. First Bad Version (Easy)
题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，在第 x 位置开始出现错误版本，导致后面的版本都错误。可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。
因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
public int firstBadVersion(int n) {
int l = 1, h = n;
while (l < h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
if (isBadVersion(mid)) {
h = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return l;
}
5. 旋转数组的最小数字
153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)
Input: [3,4,5,1,2],
Output: 1
public int findMin(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] <= nums[h]) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return nums[l];
}
5、寻找旋转排序数组中的最小值
题目来源：leetcode 153
假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
请找出其中最小的元素。
你可以假设数组中不存在重复元素。
示例 1:
输入: [3,4,5,1,2]
输出: 1
示例 2:
输入: [4,5,6,7,0,1,2]
输出: 0
解答：两种方法：第一种，遍历找最小值，运行时间为O(n).
这里主要讲一下第二种方法：二分法。
旋转后的数组可以分为两个部分，前一部分、后一部分，两个部分均有序,并且前一部分的第一个元素（最小元素） 大于 后一部分的最后一个元素（最大元素）。
搞清楚以上这一点，接下来就很简单了。首先设置left, rigth两个指针，指向首尾两个元素，如果nums[left] < nums[right]，则说明没有旋转，直接返回第一个元素即可。如果大于，则说明发生旋转，令middle = left + (right - left) /2, 并比较nums[middle] 和nums[left]值，如果nums[left] <= nums[middle] 则令 left = middle + 1, 否则令 right = middle, 再比较left和right所指向的元素的值，。。。如此迭代即可。
代码：
class Solution {
public:
int findMin(vector
int left = 0, right = nums.size() - 1;
if( nums[left] > nums[right]) //发生旋转
while( left < right){
int middle = left + (right - left) / 2;
if( nums[middle] < nums[left])
right = middle;
else if( nums[ middle] >= nums[left])
left = middle + 1;
if( nums[left] > nums[right])//依旧存在旋转
continue;
else
return nums[left];
}
else//没有发生旋转
left = 0;
return nums[left];
}
};
做几点说明r代表旋转点， 第三种情况就是没有旋转。
重点考虑第一二种情况
https://github.com/luliyucoordinate/Leetcode/blob/master/src/0153-Find-Minimum-in-Rotated-Sorted-Array/0153.cpp
| #include |
| #include |
| using namespace std; |
| static int x = []() {std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); return 0; }(); |
| class Solution |
| { |
| public: |
| int findMin(vector |
| { |
| int low = 0, high = nums.size() - 1; |
| while (low <= high) |
| { |
| int mid = (high - low)/2 + low; |
| if (nums[low] <= nums[mid]) |
| { |
| if (nums[mid] <= nums[high]) return nums[low]; |
| //针对有序情况，避免死循环 0 1 2 |
| else low = mid + 1; |
| } |
| else |
| { |
| if (nums[mid] <= nums[high]) high = mid; |
| } |
| } |
| return -1; |
| } |
| }; |
| int main() |
| { |
| vector |
| cout << Solution().findMin(nums) << endl; |
| return 0; |
}}{}
}
154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II
- class Solution {
- public:
- int findMin(vector
& nums) { - int l = 0, h = nums.size() -1;
- while(l < h)
- {
- int m = (h - l)/2 + l;
- if(nums[h] > nums[m])
- {
- h = m;
- }
- else if( nums[h] < nums[m])
- {
- l = m + 1;
- }
- else
- {
- h = h -1;//这个逼近且保证！
- }
- }
- return nums[l];
- }
};
Leetcode 33. 搜索旋转排序数组
class Solution {
public:
int search(vector
int l = 0, h = nums.size() -1;
while(l <= h)
{
int m = (h - l)/2 + l;
if(nums[m] == target )
return m;
if(nums[m] >= nums[l])//针对只有一个情况 包含等号
{ //旋转点在m之后, 只在旋转点前半有序序列找
if(target <=nums[m] && target >= nums[l])
h = m;
else
l = m + 1;
}
else
{ //旋转点在m之前，只在旋转点之后的后半有序序列找
if(target >=nums[m] && target <= nums[h])
l = m + 1;
else
h = m;
}
}
return -1;
}
};
6. 查找区间
34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array
Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
Output: [3,4]
Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
Output: [-1,-1]
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int first = binarySearch(nums, target);
int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
if (first == nums.length || nums[first] != target) {
return new int[]{-1, -1};
} else {
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
}
}
private int binarySearch(int[] nums, int target) {
int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= target) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
每次记录的都是最后等于target的值不用去做边界值得判断了。
- class Solution {
- public:
- vector
searchRange(vector & nums, int target) { - vector
rs = {-1,-1}; - if(nums.empty())
- return rs;
- int l = 0, h = nums.size();
- while(l < h)
- {
- int m = (h-l)/2 + l;
- if(target == nums[m])
- {
- rs[0] = m;
- h = m;
- }
- else if(target < nums[m])
- {
- h = m;
- }
- else if(target > nums[m])
- {
- l = m + 1;
- }
- }
- l = 0, h = nums.size() ;
- while(l < h)
- {
- int m = (h-l)/2 + l;
- if(target == nums[m])
- {
- rs[1] = m;
- l = m + 1;
- }
- else if(target < nums[m] )
- {
- h = m;
- }
- else if(target > nums[m])
- {
- l = m + 1;
- }
- }
- return rs;
- }
- };
二分查找的思路
我相信对很多读者朋友来说，编写二分查找的算法代码属于玄学编程，虽然看起来很简单，就是会出错，要么会漏个等号，要么少加个 1。
不要气馁，因为二分查找其实并不简单。看看 Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）怎么说的：
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward,
the details can be surprisingly tricky...
这句话可以这样理解：思路很简单，细节是魔鬼。
本文以问答的形式，探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。第一个场景是最简单的算法形式，解决 这道题，后两个场景就是本题。
而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。
零、二分查找框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。
其中 ... 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下，计算 mid 时需要技巧防止溢出，即 mid=left+(right-left)/2。本文暂时忽略这个问题。
一、寻找一个数（基本的二分搜索）
这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？
答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length-1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 333 又小于等于 222 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 222，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 222 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
//...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
2. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
当然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
3. 此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 222，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 111，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 333，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
二、寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。
2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
binarySearch
对于这个数组，算法会返回 111。这个 111 的含义可以这样解读：nums 中小于 222 的元素有 111 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 000，含义是：nums 中小于 111 的元素有 000 个。
再比如说 nums 不变，target = 8，算法会返回 444，含义是：nums 中小于 888 的元素有 444 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
while (left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
3. 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。
4. 为什么该算法能够搜索左侧边界？
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
if (nums[mid] == target)
right = mid;
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
5. 为什么返回 left 而不是 right？
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。
三、寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
binarySearch
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。更多精彩文章欢迎关注我的众公号 labuladong。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
3. 为什么没有返回 −1-1−1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 −1-1−1：
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
四、最后总结
来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。
通过本文，你学会了：
分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
如需要搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
以后就算遇到其他的二分查找变形，运用这几点技巧，也能保证你写出正确的代码。
最后，点击我的头像可以查看更多详细题解，希望读者多多点赞，让我感受到你的认可～
这部分转载公众号 labuladong 致力于把算法问题讲清楚～