【算法题解】LeetCode 312.戳气球

题目

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。如果你戳破气球 i ，就可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

说明:

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

求解思路

求最值，基本思想是通过穷举进行求解，穷举可以考虑的方法有回溯和递归，本题我们考虑通过递归进行求解。
状态定义：dp[i][j]，表示从第i个气球到第j个气球（左开右开区间）全部戳破所能得到的最大硬币数。
状态转移方程：考虑i到j中最后戳破的气球为k(i < k < j)，那么i -> k , j -> k就得先全部戳破，最后戳破k， 相应的收益为dp[i][j] = dp[i][k] + nums[i] * k * nums[j] + dp[k][j];

代码

public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[][] dp = new int[n + 2][n + 2];
        int[] profit = new int[n + 2];
        val[0] = profit[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            profit[i] = nums[i - 1];
        }
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 2; j <= n + 1; j++) {
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                    int sum = profit[i] * profit[k] * profit[j] + dp[i][k] + dp[k][j];
                    profit[i][j] = Math.max(dp[i][j], sum);
                }
            }
        }
        return dp[0][n + 1];
    }