对数函数：2018年理数全国卷A题21

对数函数：2018年理数全国卷A题21

已知函数

（I）讨论 的单调性；

（Ⅱ）若 存在两个极值点 ，证明∶

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【解答问题I】

函数 的定义域为 .

令 , 则

由韦达定理可得：

(1) 若 , , 函数 在 单调递减；

(2) 若 , , 当 且 时，. 所以，函数 在 单调递减；

(3) 若 , 当 , 函数 在 单调递减；

(4) 若 , 导函数在 有两个零点：

当 ，函数 单调递减；

当 ，函数 单调递增；

当 ，函数 单调递减；

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【解答问题Ⅱ】

根据前节的推导可知：存在两个极值点 的前提是：

不妨设 ,

则

记

由前节推导可知： 在 上单调递减，而 ,

∴ 当 ,

∴

∴

∴

∴

证明完毕.

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【提炼与提高】

现在的命题人很喜欢这种现学现用的风格.

类似风格的考题还有不少。参见：

对数函数：2011年理数大纲卷题22

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