25. 深度学习进阶 - 权重初始化，梯度消失和梯度爆炸

Hi，你好。我是茶桁。

咱们这节课会讲到权重初始化、梯度消失和梯度爆炸。咱们先来看看权重初始化的内容。

权重初始化

机器学习在我们使用的过程中的初始值非常的重要。就比如最简单的wx+b，现在要拟合成一个yhat，w如果初始的过大或者初始的过小其实都会比较有影响。

假设举个极端情况，就是w拟合的时候刚刚就拟合到了离x很近的地方，我们想象一下，这个时候是不是学习起来就会很快？所以对于深度学习模型权重的初始化是一个非常重要的事情，甚至有人就说把初始化做好了，其实绝大部分事情就已经解决了。

那么我们怎么样获得一个比较好的初始化的值？首先有这么几个原则

• 我们的权重值不能设置为0。
• 尽量将权重变成一个随机化的正态分布。而且有更大的X输入，那我们的权重就应该更小。

$$\begin{array}{rl}loss& =\sum (\hat{y}-y_i{)}^2\\ & =\sum (\sum w_i{x}_i-y_i{)}^2\end{array}$$

我们看上面的式子，yhat就是w_i*x_i, 这个时候x_i可能是几百万，也可能是几百。我们w_i取值在(-n, n)之间，那当x_i维度特别大的时候，那yhat值算出来的也就会特别大。所以，x_i的维度特别大的时候，我们期望w_i值稍微小一些，否则加出来的yhat可能就会特别大，那最后求出来的loss也会特别大。

如果loss值特别大，可能就会得到一个非常的梯度。那我们知道，学习的梯度特别大的话，就会发生比较大的震荡。

所以有一个原则，就是当x的dimension很大的时候, 我们期望的它的权重越小。

那后来就有人提出来了一个比较重要的初始化方法，Xavier初始化。这个方法特别适用于sigmoid激活函数或反正切tanh激活函数，它会根据前一层和当前层的神经元数量来选择初始化的范围，以确保权重不会过大或过小。
$$\begin{array}{rl}均值为0和标准差的正态分布:\sigma & =\sqrt{\frac{2}{n_{inputs}+n_{outputs}}}\\ -r和+r之间的均匀分布：r& =\sqrt{\frac{6}{n_{inputs}+n_{outputs}}}\end{array}$$

然后W的均匀分布就会是这样：
W ∼ U ∣ − 6 n j + n j + 1 , 6 n j + n j + 1 W \sim U \Bigg \vert -\frac{\sqrt 6}{\sqrt{n_j + n_{j+1}}}, \frac{\sqrt 6}{\sqrt{n_j + n_{j+1}}} W∼U ​−nj​+nj+1​ ​6 ​​,nj​+nj+1​ ​6 ​​

这个是一个比较有名的初始化方法，如果要做函数的初始化的话，PyTorch在init里面有一个方法：

torch.nn.init.xavier_uniform_(tensor, gain=1.0)

比如，我们看这样例子：

w = torch.empty(3, 5)
nn.init.xavier_uniform_(w, gain=nn.calculate_gain('relu'))

注意: init方法里还有其他的一些方法，大家可以查阅PyTorch的相关文档：https://pytorch.org/docs/stable/nn.init.html

梯度消失与梯度爆炸

当我们的模型层数特别多的时候

就比如我们上节课用到的Sequential，我们可以在里面写如非常多的一个函数：

model = nn.Sequential(
    nn.Linear(in_features=10, out_features=5).double(),
    nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(in_features=5, out_features=8).double(),
    nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(in_features=8, out_features=8).double(),
    nn.Sigmoid(),
    ...
    nn.Linear(in_features=8, out_features=8).double(),
    nn.Softmax(),
)

这样，在做偏导的时候我们其中几个值特别小，那两个一乘就会乘出来一个特别特别小的数字。最后可能会导致一个结果，$\frac{\partial loss}{\partial wi}$的值就会极小，它的更新就会特别的慢。我们把这种东西就叫做梯度消失，也有人叫梯度弥散。

以Sigmoid函数为例，其导数为

$$\begin{array}{r}{\sigma }^{\prime }(x)=\sigma (x)(1-\sigma (x))\end{array}$$

在x趋近正无穷或者负无穷时，导数接近0。当这种小梯度在多层网络中相乘的时候，梯度会迅速减小，导致梯度消失。

除此之外还有一种情况叫梯度爆炸，剃度爆炸类似，当模型的层很多的时候，如果其中某两个值很大，例如两个10^{2，当这两个乘起来就会变成10}4。乘下来整个loss很大，又会产生一个结果，我们来看这样一个场景：

假如说对于上图中这个函数来说，横轴为x, 竖轴为loss，对于这个xi来说，这个地方$\frac{\partial loss}{\partial xi}$已经是一个特别大的数字了。

假设咱们举个极端的情况（忽略图中竖轴上的数字），我们现在loss等于x^4：$loss=x^4$，然后现在$\frac{\partial loss}{\partial x^4}$就等于$4x^3$，我们假设x在A点，当x=10的时候，那$4\times x^3=4000$， 那我们计算新的xi，就是$x_i=x_i-\alpha \cdot \frac{\partial loss}{\partial x_i}$，现在给alpha一个比较小的数，我们假设是0.1，那式子就变成$10-0.1\times 4000$，结果就是-390。

我们把它变到-390之后，本来我们本来做梯度下降更新完，xi期望的是loss要下降，但是我们结合图像来看，xi=-390的时候，loss就变得极其的巨大了，然后我们在继续，(-390)^4， 这个loss就已经爆炸了。

再继续的时候，会发现会在极值上跳来跳去，loss就无法进行收敛了。所以我们也要拒绝这种情况的发生。

那梯度消失和梯度爆炸这两个问题该如何解决呢？我们来看第一种解决方法： Batch normalization，批量归一化。

那这个方法的核心思想是对神经网络的每一层的输入进行归一化，使其具有零均值和单位方差。

那么首先，对于每个mini-batch中的输入数据，计算均值和方差。$B=\{x_1...m\}$; 要学习的参数: $\gamma ,\beta$。

$$\begin{array}{rl}{\mu }_B& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i\\ {\sigma }_B^2& =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-{\mu }_B{)}^2\\ & \mu 为均值mean，\sigma 为方差\end{array}$$

这里和咱们之前讲x做normalization的时候其实是特别相似，基本上就是一件事。

然后我们使用均值和方差对输入进行归一化，使得其零均值和单位方差，即将输入标准化为xhat。

$$\begin{array}{r}{\hat{x}}_i=\frac{x_i-{\mu }_B}{\sqrt{{\sigma }_B^2+\epsilon }}\end{array}$$

接着我们对归一化后的输入应用缩放和平移操作，以允许网络学习最佳的变换。

$$\begin{array}{r}{y}_i=\gamma {\hat{x}}_i+\beta \equiv B{N}_{\gamma ,\beta }(x_i)\end{array}$$

输出为$\{y_i=B{N}_{\gamma ,\beta }(x_i)\}$。

最后将缩放和平移后的数据传递给激活函数进行非线性变换。

它会输入一个小批量的x值，

经过反复的梯度下降，会得到一个gamma和beta，能够知道在这一步x要怎么样进行缩放，在缩放之前会经历刚开始的时候那个normalization一样，把把过小值会变大，把过大值会变小。

我们在之前的课程中演示过，没看过和忘掉的同学可以往前翻看一下。

然后在经过这两个可学习的参数进行一个变化，这样它可以做到在每一层x变化不会极度的增大或者极度的缩小，可以让我们的权值保持的比较稳定。

那除了Batch normalization之外，还有一个方法叫Gradient clipping， 它是可以直接将过大的梯度值变小。

它其实很简单，也叫做梯度减脂。

如果我们求解出来$\frac{\partial loss}{\partial w_i}$很大，假设原来等于400，我们定义了一个100，那超过100的部分，就全部设置成100。

train_loss.backward()
pt.nn.units.clip_grad_value_(model.parameters(), 100)
optimizer.step()

简单粗暴。那其实梯度爆炸还是比较容易解决的，比较复杂的其实是梯度消失的问题。

梯度爆炸为什么比较容易解决？梯度爆炸起码是有导数的，只要把这个导数给它放的特别小就行了，有导数起码保证wi可以更新。

假设alpha，我们的learning_rate等于0.01，乘上一个100，可以保证每次可以有个变化。但是每次这个梯度特别小，假如都快接近于0了，那么1e-10, 就算乘上100倍，最后还是一个特别小的数字。所以相较而言，梯度爆炸就更好解决一些，方法更粗暴一些。

补充一个知识点，这个虽然现在已经用不到了，但是对我们的理解还是有帮助的。方法比较古老。

就是当我们发现梯度有问题的时候， 大概在10年前，那个时候神经网络的模块也不太丰富，很多新出的model，做神经网络的人，一些导数，传播什么的都需要自己写，就我们前几节课写那个神经网络框架的时候做的事。

有的时候导数写错了，就有一种方法叫做gradient checking，梯度检查。

这个使用场景非常的少，当你自己发明了一个新的模块，加到这个模型里面的时候会遇到。

其实很简单，就是把最终的$\frac{\partial loss}{\partial w_i}$，求解出来的偏导总是不收敛，可能是这个偏导有问题，那么有可能求导的函数写错了。

那在这个时候就可以做个简单的变化：

$$\begin{array}{r}\frac{\partial loss(\theta +\epsilon )-\partial loss(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }\end{array}$$

这其中$\partial loss(\theta +\epsilon )$和$\partial loss(\theta -\epsilon )$是在参数$\theta$, 其实也就是我们的wi上添加和减去微小扰动theta后的损失函数值。

然后我们计算数值梯度和反向传播计算得到的梯度之间的差异。通常这是通过计算它们之间的差异来完成，然后将其与一个小的阈值，比如1e-7进行比较。如果差异非常小（小于阈值），则可以认为梯度计算是正确的，否则可能就需要从新写一下偏导函数了。

这个比较难，但不是一个重点，当且仅当自己要发明一个模型的时候。

那接下来我们来看一下关于Learning_rate和Early Stopping的问题。

理论上，如果深度学习效果不好，那么我们可以将learning rate调小，可以让所有模型效果变得更好，它可以让所有的loss下降。

但是如果你的learning rate变得特别小，假如说是1e-9，那这样的结果就是w的变化会非常的慢，训练时间就变得很长。为了解决这个问题，就有一些比较简单的方法。

第一个，我们可以把learning rate和loss设置成一个相关的函数，例如说loss越小的时候，Learning rate越小，或者随着epoch的增大，loss越小。这个就叫learning rate的decay。

将learning rate或者训练次数和loss设置成一个相关的函数，那么越到后面效果越好的时候，learning rate就会越小。

还有，我们可能会发现loss连续k次不下降，那我们就可以提前结束训练过程，这个就是Early Stopping。

也就是当你发现loss连续k次不下降，或者甚至于在上升，那么这个时候，就可以将最优的这个值给它记录下来。

咱们可能会经常出现的情况就是值在那里震荡，本来呢已经快接近于最优点了，可是震荡了几次之后，还可能震荡出去了，loss变大了。或者就一直在这个震荡里边出不去，这个时候多学习也没有用，所以就可以早点停止，这个就是Early Stopping，中文有人称呼它为早停方法。

好，下节课，咱们要讲一个重点，也是一个难点。就是咱们做机器学习的时候，不同的优化方法。