利用叉积计算向量的旋向及折线段的拐向

一、向量叉积

两个向量$u$、$v$的叉积写作$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\mathbf{n}\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \mathbf{sin}\theta$$
式中，$n$: 与$u$、$v$均垂直的单位向量，theta是两向量的夹角。

叉积的w长度可以解释成以$u$、$v$为边的四边形的面积。同样，三重积是以$u$、$v$、$w$为边的平行六面体的体积。

二、向量的旋向

设平面内两向量$P_1=(x_1,y_1)$，$P_2=(x_2,y_2)$。由叉积定义，两向量叉积的模是原点o、$P_1$、$P_2$组成的平行四边形的带符号的面积：

即： C = ∥ P 1 × P 2 ∥ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 C=\left \| P_1\times P_2 \right \| = \begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1y_2-x_2y_1 C=∥P1​×P2​∥= ​x1​x2​​y1​y2​​ ​=x1​y2​−x2​y1​
叉积一个非常重要的性质是可以通过其模$C$的符号判断两向量相互之间的顺时针、逆时针关系：

1. C>0， 则$P_2$在$P_1$的逆时针方向；
2. C<0， 则$P_2$在$P_1$的顺时针方向；
3. C>0， 则$P_2$与$P_1$共线，可能同向也可能反向；

三、折线段的拐向

折线段的拐向判断方法可以直接由向量叉积的性质推出。设$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$、$P_3(x_3,y_3)$，对于有公共端点$P_2$的线段$P_1{P}_2$、$P_2{P}_3$,通过计算$C=\Vert (P_2-P_1)\times (P_3-P_2)\Vert$的符号便可确定折线的拐向。

1. 若C>0, $P_1{P}_2$在$P_2$点逆时针旋转后得到$P_2{P}_3$,此时$P_2$是凸点
2. 若C<0, $P_1{P}_2$在$P_2$点顺时针旋转后得到$P_2{P}_3$,此时$P_2$是凹点
3. 若C=0, $P_1、P_2、P_3$三点共线