数据结构与算法之递归: LeetCode 46. 全排列 (Typescript版)

全排列

• https://leetcode.cn/problems/permutations/

描述

• 给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示

• 1 <= nums.length <= 6
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有整数 互不相同

算法实现

1 ）回溯1: 基于数组

function permute(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    // 回溯函数
    const backtrack = (path: number[]) => {
        // 满足当前条件
        if(path.length === nums.length) {
            res.push(path);
            return;
        }
        // 遍历
        for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(path.includes(nums[i])) continue;
            backtrack(path.concat(nums[i]));
        }
    }
    backtrack([]);
    return res;
}

• 时间复杂度：O(n*n!)
  • 假设输入数组的长度为 n
  • 遍历每个元素的时间复杂度为 O(n)
  • 对于每个元素，都会进行递归调，假设数组中有 n 个不同的元素
  • 那么对于每个元素，都会有 n-1 个可能的选择，然后对于每个选择，又会有 n-2 个可能的选择，以此类推
  • 因此，递归的时间复杂度可以表示为 O(n!)。
  • 在每一层递归中，都会进行一次包含操作（includes），其时间复杂度为 O(n)。
  • 综合考虑，这段代码的时间复杂度为 O(n * n!)，其中 n 表示输入数组的长度。
  • 需要注意的是，这里的时间复杂度分析基于平均情况。
  • 在最坏情况下，全排列的数量是 n!，因此在最坏情况下，时间复杂度为 O(n * n!)
  • 注意: n的阶乘公式: n! = 1*2*3*...*(n-1)*n
• 空间复杂度：O(n)
  • 递归，堆栈，不是常量，是线性增长的
  • 是递归的层数

2 ）回溯2: 基于交换

function permute(nums: number[]): number[][] {
    const res: number[][] = [];
    const backtrack = function(start: number) {
        if (start === nums.length - 1) {
            res.push([...nums]);
            return;
        }
        for (let i: number = start; i < nums.length; i++) {
            [nums[i], nums[start]] = [nums[start], nums[i]]; // 交换
            backtrack(start + 1); // 下一个数
            [nums[i], nums[start]] = [nums[start], nums[i]]; // 交换撤销
        }
    }
    backtrack(0); // 从 0 开始
    return res;
};

• 这个问题可以看作有 n 个排列成一行的空格，我们需要从左往右依此填入题目给定的 n 个数，每个数只能使用一次
• 那么很直接的可以想到一种穷举的算法，即从左往右每一个位置都依此尝试填入一个数
• 看能不能填完这 n 个空格，在程序中我们可以用「回溯法」来模拟这个过程
• 时间复杂度：O(n*n!)，其中 n 为序列的长度
• 空间复杂度：O(n)

回溯算法、递归和深度优先遍历之间的关系

• 它们通常在算法中一起使用，因为回溯算法通常使用递归来实现，并且常常涉及到深度优先遍历的思想。

• 回溯算法与递归

  • 回溯算法是一种渐进式寻找并构建问题解决方案的策略。
  • 在回溯算法中，通常通过递归的方式来尝试所有可能的情况。
  • 当找到一个可能的解决方案时，它会继续探索下去，如果发现不符合条件，就会回溯到上一个状态，尝试其他可能的情况。
  • 因此，回溯算法通常使用递归来实现，因为递归天然地适合于处理这种尝试所有可能情况的问题。

• 回溯算法与深度优先遍历(DFS)

  • 回溯算法通常使用深度优先遍历的思想。
  • 在回溯算法中，我们会尝试一条路走到底，直到无法再继续下去，然后回溯到上一个状态，尝试其他的可能性。
  • 这与深度优先遍历的思想是一致的，深度优先遍历也是尽可能深地搜索树的分支，直到无法再继续为止
  • 然后回溯到上一个节点，继续搜索其他分支

• 因此，回溯算法通常使用递归来实现，并且其思想与深度优先遍历密切相关。

• 在许多情况下，回溯算法可以被视为一种特殊的深度优先遍历。